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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Fr 18.12.2015 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen,
mir fällt leider schwer, folgenden Beweisschritt zu verstehen.
Sei [mm] $g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \$ [/mm] zunächst eine geeignete (das heißt so, dass untere Ausdrücke existeren) Funktion
Es sei zunächst
[mm] $F(u):=\sum_{k=-\infty}^\infty [/mm] g(u+k)g(u+k+h)$
für ein $h>0$.
Nun wird behauptet, dass $F$ eine periodische Funktion sei.
Dazu meine beiden Fragen:
1. Ist F eine 1-periodische Funktion? Das heißt $F(u+n)=F(u)$ für alle ganzen Zahlen $n [mm] \in \mathbb{Z}$? [/mm] Einfach da hier alle $k$ summiert werden und eine Substitution den Wertebereich nicht verschiebt?
2. Wie zeigt man damit nun:
[mm] $\sum_{k=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty [/mm] g(u+k)g(u+k+h) \ du = [mm] \sum_{j=-\infty}^\infty \int_{j}^{j+1} [/mm] F(u)\ du$.
Herzlichen Dank für eure Unterstützung. Würde mich über jede Hilfe freuen.
Grüße, DesterX!
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Hiho,
> 1. Ist F eine 1-periodische Funktion? Das heißt [mm]F(u+n)=F(u)[/mm] für alle ganzen Zahlen [mm]n \in \mathbb{Z}[/mm]?
Zumindest ist 1 eine Periode, ja.
> Einfach da hier alle [mm]k[/mm] summiert werden und eine
> Substitution den Wertebereich nicht verschiebt?
Ja.
> 2. Wie zeigt man damit nun:
> [mm]\sum_{k=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(u+k)g(u+k+h) \ du = \sum_{j=-\infty}^\infty \int_{j}^{j+1} F(u)\ du[/mm].
Vertausch mal Integration und Summation und nutze 1.)
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 20.12.2015 | | Autor: | DesterX |
Danke Gonozal. Also ganz einfach zu sehen, sorry!
Darf denn nun auch wegen der Periodizität schreiben:
$ [mm] \sum_{k=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty [/mm] g(u+k)g(u+k+h) \ du = [mm] \sum_{j=-\infty}^\infty \int_{j}^{j+1} [/mm] F(u)\ du = [mm] \sum_{j=-\infty}^\infty \int_{0}^{1} [/mm] F(u)\ du$?
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Mo 21.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke Gonozal. Also ganz einfach zu sehen, sorry!
>
> Darf denn nun auch wegen der Periodizität schreiben:
> [mm]\sum_{k=-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(u+k)g(u+k+h) \ du = \sum_{j=-\infty}^\infty \int_{j}^{j+1} F(u)\ du = \sum_{j=-\infty}^\infty \int_{0}^{1} F(u)\ du[/mm]?
>
> Vielen Dank im Voraus!
Ja, wenn F die Periode 1 hat, so ist
$ [mm] \int_{j}^{j+1} [/mm] F(u)\ du = [mm] \int_{0}^{1} [/mm] F(u)\ du $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Di 22.12.2015 | | Autor: | DesterX |
Dankeschön!!
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