Integration über Borelmaß < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:24 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | Sei [mm] \mu [/mm] das Borelmaß auf [mm] \IR [/mm] mit Verteilungsfunktion
F: [mm] \IR \to [/mm] (0,1), x [mm] \mapsto [/mm] = 0, für x kleiner [mm] \pi [/mm] /4 usw...
Berechnen sie das Integral von cos (x) d [mm] \mu [/mm] |
Löst man diese Aufgabe einfach durch einsetzen, also:
[mm] \integral_{- \pi /4}^{0}{cos x dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{- \pi /4}{cos x dx} [/mm] usw..., je nachdem wie die Verteilungsfunktion angegeben ist???
oder gibts da nen Haken???
Danke für eure Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
also bzw. die jew. Werte der Verteilungsfunktion mit cos multiplizieren und davon dann die Integrale berechnen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> also bzw. die jew. Werte der Verteilungsfunktion mit cos
> multiplizieren und davon dann die Integrale berechnen...
>
Ich glaub Du verwechselst hier die Verteilungsfunktion mit der Dichte.
Die Frage ist auch, ob F in der uspr Aufgabe stetig oder diskret ist.
Bei diskreten muß man bei der Notation an den Rändern aufpassen, z.B. für
[mm] $\mu$ [/mm] mit Verteilungsfunktion
[mm] $F:\,x\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<\pi/4 \\ 1, & \mbox{für } x\geq \pi/4\end{cases}$
[/mm]
[mm] $0=\int_{[0,\pi/4)}f\ d\mu \neq \int_{[0,\pi/4]}f\ d\mu=f(\pi/4)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
laut Aufgabenstellung ist F Verteilungsfunktion und daher stetig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
F(x) = 1 für x [mm] \ge \pi/4
[/mm]
F(x) = 3/4 für 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] \pi/4
[/mm]
F(x) = 1/2 für - [mm] \pi/4 \le [/mm] x < 0
F(x) = 0 für x < - [mm] \pi/4
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> F(x) = 1 für x [mm]\ge \pi/4[/mm]
> F(x) = 3/4 für 0 [mm]\le[/mm] x < [mm]\pi/4[/mm]
> F(x) = 1/2 für - [mm]\pi/4 \le[/mm] x < 0
> F(x) = 0 für x < - [mm]\pi/4[/mm]
Damit ist die Funktion doch diskret.
Anders gesagt, [mm] \mu [/mm] ist ein Punktmaß mit Trägermenge [mm] $T=\{-\pi/4,0,\pi/4\}$
[/mm]
Du willst [mm] $\int [/mm] cos(x)\ [mm] \mu(dx)$
[/mm]
Nun, wegen unserem [mm] \mu [/mm] gilt doch:
[mm] $cos(x)=cos(-\pi/4)1_{\{-\pi/4\}}(x)+cos(0)1_{\{0\}}(x)+cos(\pi/4)1_{\{\pi/4\}}(x)$ $\mu$-f.ü. [/mm] (1 ist die Indikatorfunktion)
Mach Dir klar, warum die beiden Funktionen [mm] $\mu$-f.ü. [/mm] gleich sind und warum Du damit im Integral das cos(x) durch die Summe ersetzen kannst.
Dann kannst Du die Konstanten vor die Integrale ziehen und alle verbleibenden Integrale sind von der Form:
[mm] $\int 1_A\ d\mu [/mm] = [mm] \mu(A)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
> Du willst [mm]\int cos(x)\ \mu(dx)[/mm]
> Nun, wegen unserem [mm]\mu[/mm] gilt
> doch:
>
> [mm]cos(x)=cos(-\pi/4)1_{\{-\pi/4\}}(x)+cos(0)1_{\{0\}}(x)+cos(\pi/4)1_{\{\pi/4\}}(x)[/mm]
> [mm]\mu[/mm]-f.ü. (1 ist die Indikatorfunktion)
Dass man das Integral durch die Summe ersetzen kann würde doch nur gehen, wenn cos nichtnegativ einfach ist und das ist hier doch nicht der Fall (So hatten wir das jedenfalls in der Vorlesung...), die einzige Definition des Maßintegrals, die man auf die Aufgabe anwenden kann, ist dass cos messbar ist, oder?
Sorry, aber ich steh wohl total aufm Schlauch :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
Dir ist klar, daß [mm] \mu [/mm] ein Punktmaß ist?
> [mm]cos(x)=cos(-\pi/4)1_{\{-\pi/4\}}(x)+cos(0)1_{\{0\}}(x)+cos(\pi/4)1_{\{\pi/4\}}(x)[/mm]
> > [mm]\mu[/mm]-f.ü. (1 ist die Indikatorfunktion)
>
>
> Dass man das Integral durch die Summe ersetzen kann würde
Wir ersetzen ja nicht das Integral durch eine Summe, sondern den Kosinus.
Wann sind denn zwei Funktionen [mm] \mu [/mm] fast überall gleich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
Den Begriff "Punktmaß" habe ich noch nie gehört.
> Wann sind denn zwei Funktionen [mm]\mu[/mm] fast überall gleich?
Wenn alle Funktionen, bei denen keine Gleichheit besteht, Maß 0 haben?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Den Begriff "Punktmaß" habe ich noch nie gehört.
Eine endliche Summe von Diracmaßen.
[mm] $\delta_z(A)=\begin{cases}
1 & z \in A \\
0 & \mathrm{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Hier also:
[mm] $\mu(A)=\frac{1}{2}\delta_{-\pi/4}(A)+\frac{1}{4}\delta_{0}(A)+\frac{1}{4}\delta_{\pi/4}(A)$
[/mm]
(Wieso folgt das aus F?)
>
> > Wann sind denn zwei Funktionen [mm]\mu[/mm] fast überall gleich?
>
> Wenn alle Funktionen, bei denen keine Gleichheit besteht,
> Maß 0 haben?!
>
Alle Funktionen? Ich nehme an Du meinst die Menge aller Punkte.
Sind f, g : [mm] \IR \to \IR [/mm] , dann bedeutet [mm] $f=g\quad \mu$-fast [/mm] überall:
[mm] $\exists\ [/mm] N [mm] \subseteq \IR [/mm] :\ [mm] \mu^\*(N)=0\ \mbox{und}\ \forall [/mm] x [mm] \in\IR\backslash [/mm] N :\ f(x)=g(x)$
Warum gilt damit:
[mm] $\cos(x)=\cos(-\pi/4)1_{\{-\pi/4\}}(x)+\cos(0)1_{\{0\}}(x)+\cos(\pi/4)1_{\{\pi/4\}}(x) [/mm] $ [mm] $\mu$-f.ü.?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
aber warum nicht:
[mm]\mu(A)=\frac{1}{2}\delta_{-\pi/4}(A)+\frac{3}{4}\delta_{0}(A)+1\delta_{\pi/4}(A)[/mm]
> (Wieso folgt das aus F?)
weil [mm] \mu((\infty,x)) [/mm] = F(x)
> Warum gilt damit:
> [mm]\cos(x)=\cos(-\pi/4)1_{\{-\pi/4\}}(x)+\cos(0)1_{\{0\}}(x)+\cos(\pi/4)1_{\{\pi/4\}}(x)[/mm]
> [mm]\mu[/mm]-f.ü.?
weil alle anderen Werte 0 sind!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> aber warum nicht:
>
> [mm]\mu(A)=\frac{1}{2}\delta_{-\pi/4}(A)+\frac{3}{4}\delta_{0}(A)+1\delta_{\pi/4}(A)[/mm]
dann wäre [mm] $\mu((-\infty, \infty))=1/2+3/4+1=9/4\neq F(\infty)$
[/mm]
> > (Wieso folgt das aus F?)
>
> weil [mm]\mu((\infty,x))[/mm] = F(x)
[mm] $F(x)=\mu((-\infty,x])$
[/mm]
Die eckige Klammer ist wichtig.
[mm] $\frac{3}{4}=F(0)=\mu ((-\infty,0])=\mu((-\infty,0)\cup\{0\})=F(x^-) [/mm] + [mm] \mu(\{0\}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}+\mu(\{0\})$
[/mm]
>
> > Warum gilt damit:
>
> >
> [mm]\cos(x)=\cos(-\pi/4)1_{\{-\pi/4\}}(x)+\cos(0)1_{\{0\}}(x)+\cos(\pi/4)1_{\{\pi/4\}}(x)[/mm]
> > [mm]\mu[/mm]-f.ü.?
>
> weil alle anderen Werte 0 sind!?
Weil das Maß der Menge [mm] \IR [/mm] ohne die drei Punkte 0 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Mathec |
So langsam wird es mir klarer! Mach mir jetzt mal noch ein paar Gedanken, aber ich denke, dass ichs hinbekomme!
Vielen Dank für deine Zeit!!!
Mathec
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> So langsam wird es mir klarer! Mach mir jetzt mal noch ein
> paar Gedanken, aber ich denke, dass ichs hinbekomme!
>
> Vielen Dank für deine Zeit!!!
> Mathec
Nochmal kurz; Die zwei entscheidenden Sachen sind
1. Durch F wird hier ein Punktmaß beschrieben.
($F(x^-)$ ist übrigens der Grenzwert, hatte ich einfach so eingeführt:
[mm] $\mu((-\infty,0))=\mu(\bigcup_{i=n}^\infty(-\infty,-\frac{1}{n}])=\lim_{n\to\infty}\mu((-\infty,-\frac{1}{n}])$
[/mm]
Den Limes kann man wegen [mm] \sigma [/mm] Stetigkeit rausziehen.)
2. Man kann dann den Kosinus unter dem Integral durch seine Werte an den drei Punkten ersetzen.
Das Ergebnis ist dann, daß das Integral über ein Maß mit Zähldichte die Summe der Funktionswerte an seinen Atomen mal der Gewichte ist.
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