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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] $f:[a,b]\to \IR, f(x)=x^2$
[/mm]
integrierbar ist. |
Ich verstehe irgendwie die Lösung nicht.
Man zerlege das Intervall $[0,1]$ äquidistant mit $n+1$ Punkten.
[mm] $x_j=\bruch{j-1}{n},j=1,...,n+1$
[/mm]
Es gilt also
[mm] $U_f(Z)=\summe_{j=1}^{n}\bruch{(j-1)^2}{n^2}*\bruch{1}{n}=\bruch{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}
[/mm]
Wie komm ich darauf.
[mm] Also...\summe_{j=1}^{n}\bruch{(j-1)^2}{n^2}*\bruch{1}{n} [/mm] ist mir klar.
Aber [mm] \bruch{(n-1)n(2n-1)}{6n^3} [/mm] ist mir ein Rätsel.
Kann mir das jemand erklären?
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> Zeigen Sie, dass
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> [mm]f:[a,b]\to \IR, f(x)=x^2[/mm]
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> integrierbar ist.
> Ich verstehe irgendwie die Lösung nicht.
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> Man zerlege das Intervall [mm][0,1][/mm] äquidistant mit [mm]n+1[/mm]
> Punkten.
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> [mm]x_j=\bruch{j-1}{n},j=1,...,n+1[/mm]
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> Es gilt also
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> [mm]$U_f(Z)=\summe_{j=1}^{n}\bruch{(j-1)^2}{n^2}*\bruch{1}{n}=\bruch{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}[/mm]
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> Wie komm ich darauf.
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> [mm]Also...\summe_{j=1}^{n}\bruch{(j-1)^2}{n^2}*\bruch{1}{n}[/mm]
> ist mir klar.
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> Aber [mm]\bruch{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}[/mm] ist mir ein Rätsel.
>
> Kann mir das jemand erklären?
[mm] $\summe_{j=1}^{n}\bruch{(j-1)^2}{n^2}*\bruch{1}{n}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{n^3}*\summe_{k=0}^{n-1}k^2\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{n^3}*\summe_{k=1}^{n-1}k^2$
[/mm]
Es gilt die Formel [mm] $\summe_{k=1}^{m}k^2\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{6}*m*(m+1)*(2\,m+1)$
[/mm]
welche meistens im Kapitel über die Beweismethode der
vollständigen Induktion bewiesen wird.
Anwendung dieser Formel mit $\ m:=n-1$ führt zum ange-
gebenen Ergebnis.
LG Al-Chw.
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