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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mo 30.01.2012 | | Autor: | marc1601 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Wert des Integrals [mm] $\int_0^\pi \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} [/mm] dx$ mit Hilfe der Substitution [mm] $x=\pi [/mm] - y$. |
Hallo zusammen,
ich hänge ein wenig bei dieser Aufgabe. Bin da schon mit allen mir bekannten sin- und cos-Identitäten rangegangen und verzweifle eigentlich schon an dem Hinweis mit der Substitution. Ich sehe nicht so ganz, was es mir bringen soll, denn eigentlich ist ja [mm] $\sin(\pi-y)=\sin(y)$ [/mm] und wegen des Quadrates beim [mm] $\cos$ [/mm] genauso.
Hat jemand von Euch eine Idee, was mir die Substitution bringt? Vielleicht sehe ich auch gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Danke schon mal im voraus,
Marc
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mo 30.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie den Wert des Integrals [mm]\int_0^\pi \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx[/mm]
> mit Hilfe der Substitution [mm]x=\pi - y[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> ich hänge ein wenig bei dieser Aufgabe. Bin da schon mit
> allen mir bekannten sin- und cos-Identitäten rangegangen
> und verzweifle eigentlich schon an dem Hinweis mit der
> Substitution. Ich sehe nicht so ganz, was es mir bringen
> soll, denn eigentlich ist ja [mm]\sin(\pi-y)=\sin(y)[/mm] und wegen
> des Quadrates beim [mm]\cos[/mm] genauso.
>
> Hat jemand von Euch eine Idee, was mir die Substitution
> bringt? Vielleicht sehe ich auch gerade den Wald vor lauter
> Bäumen nicht.
Wir setzen $ I:= [mm] \int_0^\pi \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} [/mm] dx $
Wenn Du obige Substitution vornimmst kommst Du auf (nachrechnen !):
$2I= [mm] \pi \int_0^\pi \frac{sin(y)}{1+\cos^2(y)} [/mm] dy$
Das Integral [mm] $\int_0^\pi \frac{sin(y)}{1+\cos^2(y)} [/mm] dy$ kannst Du mit der Substitution [mm] $t=\cos(y)$ [/mm] in den Griff bekommen.
FRED
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> Danke schon mal im voraus,
> Marc
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