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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Do 20.08.2009 | | Autor: | basst2 |
| Aufgabe | Bestimmen sie das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{4*x + 10}{x*(x^{2}+2*x+5)} dx} [/mm] |
Hallo,
Ich habe den Term bereits mit Partialbruchzerlegung zerlegt:
[mm] \bruch{4*x + 10}{x*(x^{2}+2*x+5)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{Bx + C}{x^{2}+2x+5}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 4*x + 10 = [mm] x^{2}*(A [/mm] + B) + x*(2A + C) + 5 A
[mm] \Rightarrow [/mm] A=2 [mm] \wedge [/mm] B=-2 [mm] \wedge [/mm] C=0
also
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{4x + 10}{x*(x^{2}+2*x+5)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2}{x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{-2x -2 + 2}{x^{2}+2*x+5} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2}{x} dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2x +2}{x^{2}+2*x+5} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2}{x^{2}+2*x+5}}
[/mm]
Die Loesung fuer das unbestimmte Integral haette ich also. Diese waere
2*ln(|x|) - [mm] ln(|x^{2}+2x+5|) [/mm] + [mm] 2*(\bruch{2}{\wurzel{20}} [/mm] * [mm] arctan(\bruch{x+1}{2})
[/mm]
Meine Frage ist jetzt also, wie mache ich weiter um auf die Loesung fuer das uneigentliche Integral zu kommen?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 2*ln(x) - [mm] ln(x^{2} [/mm] + 2x + 5)
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 2*ln(x) - [mm] ln(e^{ln(x^{2}} [/mm] + 2x + 5)
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 2*ln(x) - [mm] ln(e^{2*ln(x)} [/mm] + 2x + 5)
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] 2*ln(x) - 2*ln(x)
= 0
wenn das stimmt was mache ich dann mit dem Summand mit arctan?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] arctan(x) ist doch [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] oder?
Muss ich dann einfach noch den Funktionswert an der unteren Grenze abziehen?
Mit der Hoffnung auf Hilfe,
BassT
Ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 20.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo basst
Den Teil deiner Rechng kann ich nicht nachvollziehen:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] $ 2*ln(x) - $ [mm] ln(x^{2} [/mm] $ + 2x + 5)
= $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] $ 2*ln(x) - $ [mm] ln(e^{ln(x^{2}} [/mm] $ + 2x + 5)
= $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] $ 2*ln(x) - $ [mm] ln(e^{2\cdot{}ln(x)} [/mm] $ + 2x + 5)
= $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] $ 2*ln(x) - 2*ln(x)
= 0
Die Umformung versteh ich nicht, wo blieben die 2x+5?
Das ergebnis ist richtig, aber [mm] 2lnx=lnx^2
[/mm]
damit hast du insgesamt [mm] ln(|bruch{x^2}{x^2+2x+5}) [/mm]
GW des Bruchs ist 1.
Den GW von arctan hast du richtig, und dann den Wert bei 1 abziehen ist auch richtig,
Gruss leduart
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