Integration rationaler Fkt. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Fr 13.05.2005 | | Autor: | ThommyM |
Zu berechnen ist folgendes Integral:
[mm]\integral {\bruch{x^3+5x}{(1+x^2)(3x+5)}dx}[/mm].
Ein Tipp ist, dass man keine Polynomdivision durchführen soll, um den Integranden zu vereinfachen.
Ich habe probiert, mithilfe der Partialbruchzerlegung den Integranden zu vereinfachen, um diesen dann anschließend mithilfe rationaler Funktionen, ln bzw. arctan integrieren zu können.
Dabei hat der Nenner ja die Nullstellen [mm]i, -i, -\bruch{5}{3}[/mm].
Also muss doch gelten:
[mm]\bruch{1}{3} * ( \bruch{x^3+5x}{(x-i)(x+i)(x+ \bruch{5}{3})})= \bruch{1}{3} * (\bruch{a}{x-i} + \bruch{b}{x+i} + \bruch{c}{x+5/3})[/mm], wobei [mm]a, b, c \in \IR[/mm] und [mm]a = \bar b[/mm], oder?
Jetzt habe ich aber Probleme a, b und c auszurechnen, weil im Zähler des Integranden ja auch ein Polynom 3. Grades steht. Vielleicht kann mir auch einer sagen, ob meine Ansatz überhaupt richtig ist? Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Fr 13.05.2005 | | Autor: | ThommyM |
Soweit ich das richtig verstanden habe, soll man wohl die komplexen Nullstellen benutzen.
Wegen dem Problem, dass im Zähler auch ein Polynom 3. Grades steht, habe ich mir auch schonmal gedacht, irgendetwas auszuklammern oder etwas dran zu addieren. Aber ich hab keine Ahnung, wie???
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Hallo,
> Wegen dem Problem, dass im Zähler auch ein Polynom 3.
> Grades steht, habe ich mir auch schonmal gedacht,
> irgendetwas auszuklammern oder etwas dran zu addieren. Aber
> ich hab keine Ahnung, wie???
vielleicht so:
[mm]\begin{gathered}
\frac{{x^{3} \; + \;5\;x}}
{{\left( {1\; + \;x^{2} } \right)\;\left( {3\;x\; + \;5} \right)}}\; = \;\frac{{\frac{1}
{3}\;\left( {3x^{3} \; + \;5\;x^{2} \; + \;3\;x\; + \;5} \right)\; - \;\left( {\frac{5}
{3}\;x^{2} \; - \;4\;x\; + \;\frac{5}
{3}} \right)}}
{{\left( {1\; + \;x^{2} } \right)\;\left( {3\;x\; + \;5} \right)}} \hfill \\
= \;\frac{1}
{3}\; - \;\frac{{\frac{5}
{3}\;x^{2} \; - \;4\;x\; + \;\frac{5}
{3}}}
{{\left( {1\; + \;x^{2} } \right)\;\left( {3\;x\; + \;5} \right)}} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 13.05.2005 | | Autor: | ThommyM |
Cool! Ja, so könnte es gehen. Danke!
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Polynomdivision![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
