Integration quadr. e-Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Magician |
Hallo,
ich habe da eine Frage zu einer Integration:
[mm] \integral_{ -\infty}^{ \infty} \bruch{x}{ \wurzel{2 \pi \beta}}e^ -\bruch{(x- \mu)^2}{2\beta^2}\, [/mm] dx
wobei [mm] \mu [/mm] und [mm] \beta [/mm] konstante variablen sind.
Ich weiss, dass ich nun auf jeden Fall eine Subst. durchführen soll, welche wie folgt aus sieht: [mm] x=y+\mu
[/mm]
Dies führt dann zu:
[mm] \integral_{ -\infty}^{ \infty} \bruch{y+\mu}{ \wurzel{2 \pi \beta}}e^ -\bruch{y^2}{2\beta^2}\, [/mm] dy
Nun weiss ich aber nicht mehr weiter, ich habe auf dem Papier bereits etliche Wege ausprobiert, kann mir jemand helfen?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Magician!
> ich habe da eine Frage zu einer Integration:
> [mm]\integral_{ -\infty}^{ \infty} \bruch{x}{ \wurzel{2 \pi \beta}}e^ -\bruch{(x- \mu)^2}{2\beta^2}\,[/mm]
Bist du sicher, dass das [mm] $\beta$ [/mm] in [mm] $\bruch{x}{ \wurzel{2 \pi \beta}}$ [/mm] unter der Wurzel steht? Ich bin in meiner Rechnung unten von [mm] $\bruch{x}{ \wurzel{2 \pi} \beta}$ [/mm] ausgegangen. Sollte es so richtig sein, wie du es geschrieben hast, musst du meine Antwort etwas modifizieren (das schaffst du schon  ).
> dx
> wobei [mm]\mu[/mm] und [mm]\beta[/mm] konstante variablen sind.
> Ich weiss, dass ich nun auf jeden Fall eine Subst.
> durchführen soll, welche wie folgt aus sieht: [mm]x=y+\mu[/mm]
Substituiere besser:
$x= [mm] \beta [/mm] y + [mm] \mu$ [/mm] (oder, anders geschrieben: $y = [mm] \frac{x-\mu}{\beta}$.
[/mm]
> Dies führt dann zu:
> [mm]\integral_{ -\infty}^{ \infty} \bruch{y+\mu}{ \wurzel{2 \pi \beta}}e^ -\bruch{y^2}{2\beta^2}\,[/mm]
> dy
Du erhältst dann:
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} \frac{y + \mu}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}$.
[/mm]
Nun ziehst du das Integral auseinander, verwendest
1) dass das Integral einer ungeraden Funktion über die reelle Achse verschwindet,
2) die bekannte Beziehung [mm] $\integral_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\, [/mm] dx = [mm] \sqrt{2\pi}$
[/mm]
und bist fertig.
Was erhältst du dann (zur Kontrolle)?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Magician |
Hallo,
vielen Dank für deine schnelle Antwort, du hattest recht, dass [mm] \beta [/mm] war quadratisch unter der Wurzel oder halt normal nicht in der Wurzel. Der Hinweis mit der ungeraden Funktion war der Schlüssel zum Erfolg, ich erhalte dann [mm] \beta [/mm] als Lösung, was mir sehr richtig aussieht.
Vielen Dank, mfG Magician.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Magician!
>Der Hinweis mit der ungeraden
> Funktion war der Schlüssel zum Erfolg, ich erhalte dann
> [mm]\beta[/mm] als Lösung, was mir sehr richtig aussieht.
[mm] $\mu$ [/mm] wäre besser. 
War es nur ein Schreibfehler?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Mo 15.08.2005 | | Autor: | Magician |
Oh ja entschuldigung, vor leauter Freude über die Lösung.
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