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Integration mittels Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integration mittels Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Sa 08.01.2011
Autor: DoubleHelix

Aufgabe
Man berechne folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:
b) [mm] \integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{1}{5-3*sin(x)} dx} [/mm]

Hallo,
Ich komme bei der oben genannten Aufgabe leider nicht auf das richtige Ergebnis: [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]

mein Rechengang:
Seite1: http://www.abload.de/img/seite1g90x.jpg
Seite2: http://www.abload.de/img/seite2rxvs.jpg

Bitte um Hilfe.



        
Bezug
Integration mittels Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Sa 08.01.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Man berechne folgende Integrale mit Hilfe des
> Residuensatzes:
>  b) [mm]\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{1}{5-3*sin(x)} dx}[/mm]
>  
> Hallo,
>  Ich komme bei der oben genannten Aufgabe leider nicht auf
> das richtige Ergebnis: [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>  
> mein Rechengang:
>  Seite1: http://www.abload.de/img/seite1g90x.jpg
>  Seite2: http://www.abload.de/img/seite2rxvs.jpg


Es muss heißen:

[mm]}\integral_{}^{}{\bruch{2}{-3*z^{2}+10*i*z+3} \ dz}[/mm]


>  
> Bitte um Hilfe.
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Integration mittels Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Sa 08.01.2011
Autor: DoubleHelix

Dann ändern sich nur die Vorzeichen. der Wert [mm] \bruch{3}{8}*i [/mm] bleibt aber leider vorhanden womit ich ein Ergebnis von [mm] -\bruch{3}{4}\pi [/mm] erhalten würde :(

Bezug
                        
Bezug
Integration mittels Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Sa 08.01.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Dann ändern sich nur die Vorzeichen. der Wert
> [mm]\bruch{3}{8}*i[/mm] bleibt aber leider vorhanden womit ich ein
> Ergebnis von [mm]-\bruch{3}{4}\pi[/mm] erhalten würde :(


Nun, Du hast da noch einen Faktor [mm]-\bruch{2}{3}[/mm] vergessen:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{2}{-3\cdot{}z^{2}+10\cdot{}i\cdot{}z+3} \ dz}=-\bruch{2}{3} \integral_{}^{}{\bruch{1}{z^{2}-\bruch{5}{3}\cdot{}i\cdot{}z-1} \ dz} [/mm]


Gruss
MathePower


Bezug
                                
Bezug
Integration mittels Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 08.01.2011
Autor: DoubleHelix

Wohoooooooooo ich habs! Danke Vielmals!
Wieso kann ich zur Berechnung des Residuums eigendlich nicht auch die [mm] Formel:\limes_{z\rightarrow\z_0}(z-{z_0})*f{z} [/mm] verwenden?(mit dieser funktionierts halt nicht ;))

sondern nur die [mm] Formel:\bruch{f{z}}{g'{z}} [/mm] ?

Beide gelten ja für Pole erster Ordnung.

Bezug
                                        
Bezug
Integration mittels Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Sa 08.01.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Wohoooooooooo ich habs! Danke Vielmals!
>  Wieso kann ich zur Berechnung des Residuums eigendlich
> nicht auch die
> [mm]Formel:\limes_{z\rightarrow\z_0}(z-{z_0})*f{z}[/mm]
> verwenden?(mit dieser funktionierts halt nicht ;))
>  
> sondern nur die [mm]Formel:\bruch{f{z}}{g'{z}}[/mm] ?
>  


Diese Formel geht aus der erstgenannten Formel hervor.

Bei der ersten Formel ist [mm]f\left(z\right)=\bruch{a}{\left(z-z_{1}\right)*\left(z-z_{2}\right)}[/mm]

Während bei der zweiten Formel

[mm]f\left(z\right)=a, \ g\left(z\right)=\left(z-z_{1}\right)*\left(z-z_{2}\right)[/mm]

ist.


> Beide gelten ja für Pole erster Ordnung.



Gruss
MathePower

Bezug
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