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Forum "Schul-Analysis" - Integration ln(x)/x
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Integration ln(x)/x: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mi 16.02.2005
Autor: Marotho

Hall Leute.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich suche das Integral von ln(x)/x. partielle Integration führt im neuen Integrationsteil zu einer noch komplizierteren Form. gibt es da überhaupt eine möglichkeit?
Brauche dringend Hilfe. Danke schon im vorraus.
MfG Marotho
        
Bezug
Integration ln(x)/x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mi 16.02.2005
Autor: Fabian

Hallo Marotho

Du mußt einfach nur [mm]lnx[/mm] substituieren!

[mm]u=lnx[/mm]      [mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{1}{x}[/mm]       [mm]dx=du*x[/mm]

Dann kannst du das x kürzen!

[mm] \integral {\bruch{u}{x}*x*du}=\integral{u*du} [/mm]


Jetzt kommst du bestimmt alleine weiter!

Gruß Fabian
Bezug
        
Bezug
Integration ln(x)/x: Partielle Integration geht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mi 16.02.2005
Autor: Marcel

Hallo Marotho!

[willkommenmr]!!

Es geht auch mit partieller Integration (Sei [mm] $u'(x)=\frac{1}{x}$. [/mm] Dann ist mit [m]u(x)=\ln(x)[/m] eine Stammfunktion zu $u'$ gegeben. Weiter sei [mm] $v(x)=\ln(x)$. [/mm] Dann ist [mm] $v'(x)=\frac{1}{x}$.): [/mm]
[m]\int{\frac{\ln(x)}{x} dx}=\int{\underbrace{\frac{1}{x}}_{=u'(x)}*\underbrace{\ln(x)}_{=v(x)} dx}\stackrel{partielle\;Integration}{=}\underbrace{\ln(x)}_{=u(x)}*\underbrace{\ln(x)}_{=v(x)}-\int{\underbrace{\ln(x)}_{=u(x)} *\underbrace{\frac{1}{x}}_{=v'(x)}dx}[/m].
D.h.:
[m]\int{\frac{\ln(x)}{x} dx}=\ln(x)*\ln(x)-\int{\frac{\ln(x)}{x} dx}[/m].
Nun addieren wir auf beiden Seiten dieser Gleichung [m]\int{\frac{\ln(x)}{x} dx}[/m]:
[m]2*\int{\frac{\ln(x)}{x} dx}=(\ln(x))^2[/m]
[mm] $\gdw$ [/mm]
[m]\int{\frac{\ln(x)}{x} dx}=\frac{1}{2}*(\ln(x))^2[/m].

D.h., für die Funktion:
[mm] $f(x)=\frac{\ln(x)}{x}$ [/mm] ($x > 0$) ist eine Stammfunktion durch:
[mm] $F(x)=\frac{1}{2}(\ln(x))^2$ [/mm] ($x > 0$) gegeben.

Zur Kontrolle:
Leite einfach mal $F$ mit der MBKettenregel ab (oder schreibe:
[m]F(x)=\frac{1}{2}*\ln(x)*\ln(x)[/m] und wende die MBProduktregel an!)

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
                
Bezug
Integration ln(x)/x: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:55 Do 17.02.2005
Autor: Marotho

Oh mann vielen dank leute, für die verdammt schnelle Antwort.
:) thanks Marotho
Bezug
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