Integration im R^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Sei M eine Teilmenge des [mm] R^3 [/mm] begrenzt durch dei Ebene z=7 und das Paraboloid [mm] z=23-x^2-y^2. [/mm] Berechnen Sie das Intergral |M|.
Meine Frage, wie komme ich an die Grenzen, bzw. an M...wenn ich dass habe welche Funktion muss ich nach Fubini berechnen? Setzte ich dafür einfach die Ebene in das Paraboloid ein?
Danke schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Jasmin!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei M eine Teilmenge des [mm]R^3[/mm] begrenzt durch dei Ebene z=7
> und das Paraboloid [mm]z=23-x^2-y^2.[/mm] Berechnen Sie das
> Intergral |M|.
>
> Meine Frage, wie komme ich an die Grenzen, bzw. an M...wenn
> ich dass habe welche Funktion muss ich nach Fubini
> berechnen? Setzte ich dafür einfach die Ebene in das
> Paraboloid ein?
Also, ich bin mir bei sowas nie ganz sicher, aber ich probiere es immer gerne mit einer Antwort. 
Die Grenzen bekommst du aus den Bedingungen an M, also die Ebene und das Paraboloid. Ich würde sagen, man wählt x oder y "frei", z. B. von 0 bis 1 (oder du musst sogar über ganz [mm] \IR [/mm] integrieren, ich weiß nicht so genau), dann kannst du glaube ich die Paraboloidgleichung =7 setzen (es geht ja beide Male um z) und dann nach der anderen Variablen auflösen. Allerdings bin ich mir da gerade gar nicht sicher, ob man jeweils einmal die untere und einmal die obere Grenze einsetzen kann und dann sowohl die untere als auch die obere erhält...
Jedenfalls musst du, wenn du die Grenzen hast, die Einsfunktion integrieren (oder vielleicht heißt sie bei euch anders?). Das wäre dann z. B. [mm] \integral_0^1{1}\;dt [/mm] = [t][mm] _0^1=t-0=t
[/mm]
Ich denke, das schaffst du dann alleine.
Aber sorry, dass ich hier jetzt doch nicht so richtig bescheid wusste...
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
|
| |
|
erst einmal schon mal danke...
aber woher weiß ich dass ich genau diese Einsfunktion integrieren muss. Ich dachte an so etwas aus dem [mm] R^1 [/mm] wie "obere Fkt minus untere Fkt"
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 19.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> aber woher weiß ich dass ich genau diese Einsfunktion
So genau wissen wir das auch nicht - ich und der andere Poster haben mal geraten, und gedacht, du musst das Volumen dieses Körpers ausrechnen. Die erhält man durch intergieren der Eins-Funktion - wenn du eine andereFunktion integriern solls, musst du mit ihr gewichten ... aber das musst du schon sagen!
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Nein, also bei so etwas integriert man immer über die
> Einsfunktion. Ich weiß ehrlich gesagt gar nicht, warum,
> aber worüber sollte man sonst integrieren?
Du integrierst die charakteristische Funktion der Menge, und zwar über den ganzen [mm] $\IR^n$ [/mm] (also in diesem Fall über ganz [mm] $\IR^3$). [/mm] Das ist gerade die Definition des Volumens bzw. Maßes einer Menge so wie ich sie kenne. Das ist dann natürlich das gleiche, als wenn du über die Einsfunktion integrierst in den entsprechenden Grenzen, die die Menge beschreiben.
- Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Di 19.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Sei M eine Teilmenge des [mm]R^3[/mm] begrenzt durch dei Ebene z=7
> und das Paraboloid [mm]z=23-x^2-y^2.[/mm] Berechnen Sie das
> Intergral |M|.
Also das Volumen dieser Menge? Dann soltle man sich kurz überlegen, wie das ganze aussieht: die zweite Bedingung ist ein Paraboloid, das kann man sich im 3-dim. vorstellen: es ist rotationssymmetrisch zur z-Achse und Schnitte mit parallen zur xy-Achse sind Kreise, da für festes z die x und y Koordinate genau mittels der Norm übereinstimmen muss. Also: es ist (mit Fubini) das Integral [m]\int_7^{23} K(r) \mbox{d}r[/m], wobei [m]K(r)[/m] der Flächeninhalt des Kreises ist mit Radius [m]23-r[/m] (warum?).
Jetzt solte das doch ganz leicht sein, oder?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 19.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo SEcki!
> > Sei M eine Teilmenge des [mm]R^3[/mm] begrenzt durch dei Ebene z=7
> > und das Paraboloid [mm]z=23-x^2-y^2.[/mm] Berechnen Sie das
> > Intergral |M|.
>
> Also das Volumen dieser Menge? Dann soltle man sich kurz
> überlegen, wie das ganze aussieht: die zweite Bedingung ist
> ein Paraboloid, das kann man sich im 3-dim. vorstellen: es
> ist rotationssymmetrisch zur z-Achse und Schnitte mit
> parallen zur xy-Achse sind Kreise, da für festes z die x
> und y Koordinate genau mittels der Norm übereinstimmen
> muss. Also: es ist (mit Fubini) das Integral [m]\int_7^{23} K(r) \mbox{d}r[/m],
> wobei [m]K(r)[/m] der Flächeninhalt des Kreises ist mit Radius
> [m]23-r[/m] (warum?).
Wobei [mm] r=x^2+y^2, [/mm] oder?
Aber wie kommst du genau auf die Grenzen für r? Müsste da nicht als obere Grenze vielleicht auch [mm] 23-x^2-y^2 [/mm] stehen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 19.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wobei [mm]r=x^2+y^2,[/mm] oder?
Nein, nicht ganz: Das r ist in z-Richtung und von diesem Wert abhängig - für eine bestimmte Höhe erhalte ich eine bestimmte Kreisscheibe, vielleicht ein Misnoumer - ich hätte das besser z nenne sollen. Es ist halt so das für alle Elemente (x,y,z) in M gilt: [m]x^2+y^2\le23-z[/m]. Also ist mein r quasi mein z - ich wollte blos die Variable hinten nicht z wählen, damit es weniger verwirrt, wohl net gelungen ...
Das müsste für eine beliebige integrierbare Funktion also folgendes ergeben (mit Fubini): [m]\int_7^{23}(\int_{-(23-z)}^{23-z}(\int_{-\sqrt{(23-z)^2-y^2}}^{\sqrt{(23-z)^2-y^2}}f(x,y,z) dx)dy)dz[/m]
> Aber wie kommst du genau auf die Grenzen für r? Müsste da
> nicht als obere Grenze vielleicht auch [mm]23-x^2-y^2[/mm] stehen?
Nein: der Parabolid ist nach oben durch 23 beschränkt, unser M also auch, nach unten ist M durch die Ebene z=7 beschränkt.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Do 21.07.2005 | | Autor: | heyminchen |
Danke an alle Mitwirkenden,
das hat mir wirklich schon sehr geholfen.
|
|
|
|
