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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Luuly |
hallo alle zusammen,
Ich sitze gerade an einer Aufgabe und weiß nicht, wie ich sie lösen kann.
K sei der Teil der Kugel [mm] (x-a)^{2} +y^{2} [/mm] + [mm] z^{2}\le a^{2}, [/mm] der durch die Zylinderfläche [mm] (x-a)^{2} [/mm] + [mm] y^{2}\le b^{2} [/mm] < [mm] a^{2} [/mm] herausgeschnitten wird.
Berechne das Volumen von K durch geeignete Koordinatenwahl.
Ich werde über einen Tipp sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG
Luuly
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Luuly!
> K sei der Teil der Kugel [mm](x-a)^{2} +y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}<= a^{2},[/mm]
> der durch die Zylinderfläche [mm](x-9)^{2}[/mm] + [mm]y^{2}<= b^{2} (a^{2} >b^{2})[/mm]
> herausgeschnitten wird.
Steht da wirklich [mm](x-9)^{2} + y^{2}<= b^{2} (a^{2} >b^{2})[/mm] ? Oder [mm](x-a)^{2} + y^{2}<= b^{2} (a^{2} >b^{2})[/mm]. (Geht die Zylinderachse durch den Kugelmittelpunkt?)
Mal dir doch mal den Schnit mit der xz-Ebene auf!
Ich wundere mich nur, dass du laut deinem Profil Dipl-Math. bist 
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Luuly |
oh sorry, ich habe mich vertippt. Die Aufgabenstellung habe ich schon geändert.
Bei meiner Profil habe ich den Titel falsch ausgewählt. Ich bin noch Student im Grundstudium und studiere Mathe auf Diplom.
LG
Luuly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Sa 03.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> K sei der Teil der Kugel [mm](x-a)^{2} +y^{2}[/mm] + [mm]z^{2}\le a^{2},[/mm]
> der durch die Zylinderfläche [mm](x-a)^{2}[/mm] + [mm]y^{2}\le b^{2}[/mm] <
> [mm]a^{2}[/mm] herausgeschnitten wird.
> Berechne das Volumen von K durch geeignete
> Koordinatenwahl.
Erstmal ein Bild: gezeigt ist der Schnitt in der xz-Ebene für a=4 und b=2:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die beiden senkrechten Geraden sollen den Schnitt mit dem Zylinder darstellen.
Als Erstes bietet es sich an, das Koordinatensystem so zu verschieben, dass der Kugelmittelpunkt im Ursprung liegt, also in x-Richtung um a. Das Volumen ändert sich dadurch ja nicht. In diesen neuen Koordinaten lauten Gleichungen für Kugel und Zylinder:
[mm]x^2+y^2+z^2 \le a^2[/mm] und [mm]x^2+y^2\le b^2[/mm].
Beide sind rotationssymmetrisch um die z-Achse, also auch der ausgeschnittene Teil. Das sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wichtig ist der Punkt E: der Abstand von der z-Achse ist ja b, die Höhe h über der xy-Ebene durch [mm]h^2+b^2=a^2[/mm] gegeben.
Wegen der Rotationssymmetrie bieten sich Polarkoordinaten an.
Kommst du alleine weiter?
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 So 04.11.2007 | | Autor: | Luuly |
Was ich berechnen soll, ist das Volumen von einem Zylinder mit zwei Deckeln. Aber mir ist nicht klar, wie die Funktion für den Schnittkörper aussieht.
LG
Luuly
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 So 04.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Luuly!
> Was ich berechnen soll, ist das Volumen von einem Zylinder
> mit zwei Deckeln.
Richtig.
> Aber mir ist nicht klar, wie die Funktion
> für den Schnittkörper aussieht.
Das Volumen ist rotationssymmetrisch bezüglich der z-Achse.
Aus der Zeichnung siehst du doch wie hoch der Zylinder ist. Wenn h den Abstand des Punktes E von der xy-Ebene bezeichnet, dann ist doch
[mm]0\le x^2+y^2 \le\begin{cases} b^2 & \text{ für den Zylinder: $-h\le z\le h$} \\ a^2-z^2 & \text{ für die Deckel: $h<|z|\le a$} \end{cases}[/mm].
Am Besten, du transformierst in Zylinderkoordinaten und zerlegst das Volumenintegral in die passenden Teile.
Viele Grüße
Rainer
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