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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Di 24.07.2018 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] $\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} [/mm] dx$ |
Hallo zusammen.
Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast aufs richtige Ergebnis.
Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir jemand von euch weiterhelfen.
Hier mein Weg:
Ich substituiere $z = 1 + [mm] e^x$, [/mm] dann ist [mm] $\frac{dz}{dx} [/mm] = [mm] e^x \gdw \frac{1}{e^x} [/mm] dz = dx$.
[mm] $\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} [/mm] dx$
$= [mm] \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} [/mm] dx$
$= [mm] \int \frac{e^{x} * e^x}{z} [/mm] * [mm] \frac{1}{e^x} [/mm] dz$
$= [mm] \int \frac{e^x}{z} [/mm] dz$
Jetzt forme ich meine Substitution um: $z = 1 + [mm] e^x \gdw [/mm] z-1 = [mm] e^x$
[/mm]
$= [mm] \int \frac{z-1}{z} [/mm] dz$
$= [mm] \int \frac{z}{z} [/mm] - [mm] \frac{1}{z} [/mm] dz$
$= [mm] \int [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{z} [/mm] dz$
$= [ z - [mm] \ln(|z|) [/mm] ]$
Rücksubstitution liefert $1 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C$.
Rauskommen soll allerdings nur [mm] $e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C$.
Wo liegt mein Fehler?
Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren Konstante [mm] $C_1$ [/mm] zusammenfassen?
Danke und VG,
Nadine
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> Berechnen Sie:
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> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
> Hallo zusammen.
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> Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast
> aufs richtige Ergebnis.
>
> Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir
> jemand von euch weiterhelfen.
>
> Hier mein Weg:
>
> Ich substituiere [mm]z = 1 + e^x[/mm], dann ist [mm]\frac{dz}{dx} = e^x \gdw \frac{1}{e^x} dz = dx[/mm].
>
> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
>
> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} dx[/mm]
>
> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{z} * \frac{1}{e^x} dz[/mm]
>
> [mm]= \int \frac{e^x}{z} dz[/mm]
>
> Jetzt forme ich meine Substitution um: [mm]z = 1 + e^x \gdw z-1 = e^x[/mm]
>
> [mm]= \int \frac{z-1}{z} dz[/mm]
>
> [mm]= \int \frac{z}{z} - \frac{1}{z} dz[/mm]
>
> [mm]= \int 1 - \frac{1}{z} dz[/mm]
>
> [mm]= [ z - \ln(|z|) ][/mm]
>
> Rücksubstitution liefert [mm]1 + e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
>
> Rauskommen soll allerdings nur [mm]e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
>
> Wo liegt mein Fehler?
Hallo,
es gibt keinen.
Du hast es ja schon erkannt:
1 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C ist genauso richtig wie
54321 + [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C oder
0+ [mm] e^x [/mm] - [mm] \ln(|1 [/mm] + [mm] e^x|) [/mm] + C.
Beim Ableiten merkst Du ja auch, daß das Richtige herauskommt.
LG Angela
>
> Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren
> Konstante [mm]C_1[/mm] zusammenfassen?
>
> Danke und VG,
> Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 24.07.2018 | | Autor: | Pacapear |
Super - Danke 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Mi 25.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie:
>
> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
> Hallo zusammen.
>
> Ich habe diese Aufgabe gerechnet, und komme leider nur fast
> aufs richtige Ergebnis.
>
> Leider finde ich meinen Fehler nicht, vielleicht kann mir
> jemand von euch weiterhelfen.
>
> Hier mein Weg:
>
> Ich substituiere [mm]z = 1 + e^x[/mm], dann ist [mm]\frac{dz}{dx} = e^x \gdw \frac{1}{e^x} dz = dx[/mm].
>
> [mm]\int \frac{e^{2x}}{1+e^x} dx[/mm]
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> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{1+e^x} dx[/mm]
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> [mm]= \int \frac{e^{x} * e^x}{z} * \frac{1}{e^x} dz[/mm]
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> [mm]= \int \frac{e^x}{z} dz[/mm]
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> Jetzt forme ich meine Substitution um: [mm]z = 1 + e^x \gdw z-1 = e^x[/mm]
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> [mm]= \int \frac{z-1}{z} dz[/mm]
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> [mm]= \int \frac{z}{z} - \frac{1}{z} dz[/mm]
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> [mm]= \int 1 - \frac{1}{z} dz[/mm]
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> [mm]= [ z - \ln(|z|) ][/mm]
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> Rücksubstitution liefert [mm]1 + e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
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> Rauskommen soll allerdings nur [mm]e^x - \ln(|1 + e^x|) + C[/mm].
>
> Wo liegt mein Fehler?
>
> Oder darf ich vielleicht die 1 und das C zu einer weiteren
> Konstante [mm]C_1[/mm] zusammenfassen?
Wie Angela schon sagte : Du hast alles richtig gemacht.
Merke: eine Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.
Noch was :warum lässt denn keiner die Betragsstriche weg?? Es ist doch [mm] 1+e^x [/mm] >0
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> Danke und VG,
> Nadine
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