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Hallo Leute,
ich sitze schon seit Stunden an folgender Funktion und kriege diese nicht nach dx integriert:
f(x,y):= [mm] ((-2xy)/(x^4+y^2))+1/x-y^2
[/mm]
Also:
1/x wird zu ln(x)
[mm] -y^2 [/mm] wird zu [mm] -y^2*x
[/mm]
bleibt
[mm] ((-2xy)/(x^4 [/mm] + [mm] y^2)
[/mm]
Ich habs mit Partialbruchzerlegung, partieller Integration und Substitution
versucht. Muss dazu aber sagen, dass ich nicht unbedingt der größte Integrierer bin (heisst: hab gerne mal Probleme mit rationalen Funktionen).
Wäre Euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet.
[ist vielleicht simplerweise
[mm] \integral {(1/(x^4+y^2))} [/mm] gleich [mm] ln(x^4+y^2) [/mm] ?]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
mit der Substitution [mm] $z=\bruch{x^{2}}{y}$ [/mm] sollte sich das knacken lassen.
Gruß,
Peter
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Hallo Peter,
ich habe deinen Vorschlag durchgerechnet:
[mm] t=\bruch{x^2}{y}
[/mm]
[mm] x=\wurzel{yt}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{(2*\wurzel{yt})}dt
[/mm]
Soweit richtig?
Dann folgt:
[mm] \integral {\bruch{-2xy}{x^4+y^2} dx}=
[/mm]
[mm] \integral {\bruch{-2y*\wurzel{yt}}{2*y*(y*t^2+y)} dt}=
[/mm]
[mm] \integral {\bruch{-1}{yt^2+y} dt}
[/mm]
Richtig?
So damit hatte ich wieder ein bisschen Probleme.
Folgt aus:
[mm] \integral {\bruch{-1}{yt^2+y} dt}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y}*arctan(t)+C [/mm] ????????????
Also:
[mm] \bruch{1}{y}*arctan(\bruch{x^2}{y})+C
[/mm]
Wenn das richtig ist...
DANKE
[Sorry das sollte eigentlich als Mitteilung, nicht als Frage auftauchen!!!!!!!]
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> Hallo Peter,
>
> ich habe deinen Vorschlag durchgerechnet:
>
> [mm]t=\bruch{x^2}{y}
[/mm]
>
> [mm]x=\wurzel{yt}
[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{(2*\wurzel{yt})}dt
[/mm]
>
> Soweit richtig?
Fast. Wenn man $y t$ als innere und [mm] $\wurzel{.}$ [/mm] als äußere Funktion betrachtet, fehlt die Ableitung der inneren; also ein Faktor $y$.
>
> Dann folgt:
>
> [mm]\integral {\bruch{-2xy}{x^4+y^2} dx}=
[/mm]
> [mm]\integral {\bruch{-2y*\wurzel{yt}}{2*y*(y*t^2+y)} dt}=
[/mm]
>
> [mm]\integral {\bruch{-1}{yt^2+y} dt}
[/mm]
>
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bis auf den o.g. Faktor
>
> So damit hatte ich wieder ein bisschen Probleme.
>
> Folgt aus:
>
> [mm]\integral {\bruch{-1}{yt^2+y} dt}
[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{y}*arctan(t)+C[/mm] ????????????
>
>
schön, dass Du nicht negativ drauf bist, aber dennoch sollte das Minus nicht einfach verschwinden...
> Also:
>
> [mm]\bruch{1}{y}*arctan(\bruch{x^2}{y})+C
[/mm]
>
> Wenn das richtig ist...
> DANKE
Bitte - aber nicht vergessen, das $-y$ dranzumultiplizieren.
>
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>
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>
>
> [Sorry das sollte eigentlich als Mitteilung, nicht als
> Frage auftauchen!!!!!!!]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Sa 22.01.2005 | | Autor: | SBStudent |
Oh ja!
Wie Schade. Zwei Flüchtigkeits (Anfänger-) fehler.
Aber ansonsten scheint es, dass rationale Funktionen mittels Substitution am besten zu lösen sind?
Noch eine letzte Frage vielleicht:
Gibt es eine Regel oder einen Ansatz wie man diesen Teil den man substituieren muss, damit es am Ende möglichst einfach klappt mit dem integrieren (sich möglichst viel wegkürzt), erkennt???
Oder einfach Übung?
Auf jeden Fall vielen Dank für Deine Bemühungen!!!
Wenn man die Fehler korrigiert ist das Ergebnis noch einfacher!!!
[mm] x=\wurzel{yt}
[/mm]
[mm] dx=\bruch {y}{2\wurzel{yt}}dt
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \integral{f(x) dx} \Rightarrow [/mm] nach Substitution
[mm] \integral {-\bruch{1}{t^2} dt}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{t}
[/mm]
Das sollte richtig sein. Wie einfach das sein kann!!
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Hallo, SBSTudent
ich habe Peters Vorschlag nicht durchprobiert,
aber
da y eine Konstante ist,
ist
das wohl ein Fall für die reelle Faktorisierung von
[mm] $x^4 [/mm] + [mm] (\sqrt{y})^4 [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] (\sqrt{y})^2)^2 [/mm] - [mm] (\sqrt{2})^2*x^2*(\sqrt{y})^2$
[/mm]
nach der bin. Formel a²-b² = (a+b)(a-b)
Damit
dann eine Partialbruchzerlegung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Sa 22.01.2005 | | Autor: | SBStudent |
Hallo FriedrichLaher,
ich habe mich auch an Deinem Vorschlag versucht, weil ich den Anfang deines Lösungstipps so schön und vielversprechend fand!!!
Aus Deinem Ansatz folgt:
[mm] \bruch{a}{x^2+y+\wurzel{2y}x}+\bruch{b}{x^2+y-\wurzel{2y}x}=\bruch{-2xy}{(x^2+y+\wurzel{2y}x)(x^2+y-\wurzel{2y}x)}
[/mm]
Schon falsch???
Naja daraus folgt bei mir damit b wegfällt:
[mm] x=-\bruch{\wurzel{y}}{\wurzel{2}}-\wurzel{\bruch{-y}{2}}
[/mm]
für
[mm] a=\bruch{-2xy-b(x^2+y+\wurzel{2y}x)}{x^2+y-\wurzel{2y}x}
[/mm]
Das hieße ja, daß x Komplex ist, da einmal [mm] \wurzel{y} [/mm] und einmal [mm] \wurzel{-y}. [/mm] Also egal welcher Wert y auch ist, man erhält immer eine negative Wurzel. Wo ist mein Fehler?
Übrigens auch Dir dickes Lob und DANKE für die schnelle Hilfe!!!!!!
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Hallo, SBStudent,
die 1te Zeile ist richtig, aber wie mir scheint, mußt Du Dich mit Partialbruchzerlegungen noch vertraut machen,
allerdings
sehe ich nun, daß es wie von mir vorgeschlagen doch nicht so vorteilhaft erscheint ( wenn das y unbestimm ist )
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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