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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mit der angegebenen Substitution.
[mm] \integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{4x}}{e^{2x+3}} dx}
[/mm]
t = [mm] e^{2x}+3 [/mm] |
Hallo Community,
ich komme bei der obigen Aufgabe leider nicht ohne Hilfe weiter.
Mein Lösungsweg bisher:
[mm] \integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{4x}}{e^{2x+3}} dx}
[/mm]
t(x) = [mm] e^{2x}+3
[/mm]
t'(x) = [mm] 2e^{2x}
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] 2e^{2x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2e^{2x}}*dt [/mm] = dx
[mm] \integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{4x}}{t} * \bruch{1}{2e^{2x}} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{2x}*e^{2x}}{t} * \bruch{1}{2e^{2x}} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{2x}}{2t} dt}
[/mm]
Das x fällt nicht raus. Wie geht es nun weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo und willkommen hier!
Alles richtig bis jetzt, außer die Grenzen. Diese musst du auch ersetzen!
Und jetzt solltest du nochmal darauf achten, dass [mm] t=e^{2x}+3 [/mm] ist!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo!
Danke für die rasche Antwort, nur leider bringt sie mich nicht weiter.
Die Grenzen habe ich vergessen, stimmt. Aber die sind ja noch nicht so wichtig, da es jetzt ja erstmal gilt, x im integral durch t zu ersetzen. Nur leider bleibt nach einsetzen der substitution ja noch ein x im integral erhalten. nun steht da x und t, damit kann ich nicht weiterrechnen. normalerweise fiel bisher immer das x komplett raus und irgendwie muss ich das auch bei dieser Aufgabe hinbekommen.
Mit deinem zweiten Hinweis kann ich leider nichts anfangen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Sa 20.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Genau wie du [mm] t=e^{2x}+3 [/mm] ersetzen hast, kannst du [mm] e^{2x}=t-3 [/mm] setzen! Also einfach diese "Substitutionsgleichung" nach [mm] e^{2x} [/mm] umstellen! Dann kriegst du das [mm] e^{2x} [/mm] auch aus deiner Gleichung raus :)
Teufel
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Hm, das bringt mich immer noch nicht weiter.
Danach habe ich folgenden Term:
[mm] \integral_{t(0)}^{t(-ln(2))}{\bruch{t-3}{2t}dt}
[/mm]
Damit bin ich dann ja soweit wie am Anfang der Aufgabe. Zu [mm] \bruch{t-3}{2t} [/mm] lässt sich so leicht keine Stammfunktion finden, da es ja ein Quotient und man beim ableiten die Quotientenregel anwenden müsste. Ich habe es mit einer erneuten Subst. probiert, doch auch damit kam ich nicht weiter...
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Hallo Object-oriented,
> Hm, das bringt mich immer noch nicht weiter.
>
> Danach habe ich folgenden Term:
>
> [mm]\integral_{t(0)}^{t(-ln(2))}{\bruch{t-3}{2t}dt}[/mm]
>
> Damit bin ich dann ja soweit wie am Anfang der Aufgabe. Zu
> [mm]\bruch{t-3}{2t}[/mm] lässt sich so leicht keine Stammfunktion
> finden, da es ja ein Quotient und man beim ableiten die
> Quotientenregel anwenden müsste. Ich habe es mit einer
> erneuten Subst. probiert, doch auch damit kam ich nicht
> weiter...
Für die Berechnung des Ausgangsintegrals brauchst Du keine Substitution.
Denn nach den Potenzgesetzen gilt:
[mm]\bruch{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}[/mm]
Gruß
MathePower
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Aber es steht im Ausgangsintegral ja auch nicht [mm] \bruch{a^{r}}{a^{s}} [/mm] sondern [mm] \bruch{a^{r}}{a^{s}+3}. [/mm] Außerdem ist die Aufgabenstelle ja gerade "Berechnen Sie mit der angegebenen Subst.".
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 So 21.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Und wie kannst du [mm] \bruch{t-3}{2t} [/mm] noch schreiben? Als [mm] \bruch{t}{2t}-\bruch{3}{2t}=\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2t}!
[/mm]
Das kannst du dann einfach integrieren.
Teufel
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Danke! Sorry, da hab ich wohl auf'm Schlauch gestanden. Vielleicht sollte ich lieber morgen früh weitermachen. :)
Jedenfalls nochmals vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 So 21.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem!
Kann ja passieren :P ist ja auch spät genug.
Teufel
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Hallo Object-oriented,
> Hm, das bringt mich immer noch nicht weiter.
>
> Danach habe ich folgenden Term:
>
> [mm]\integral_{t(0)}^{t(-ln(2))}{\bruch{t-3}{2t}dt}[/mm]
>
> Damit bin ich dann ja soweit wie am Anfang der Aufgabe. Zu
> [mm]\bruch{t-3}{2t}[/mm] lässt sich so leicht keine Stammfunktion
> finden, da es ja ein Quotient und man beim ableiten die
> Quotientenregel anwenden müsste. Ich habe es mit einer
> erneuten Subst. probiert, doch auch damit kam ich nicht
> weiter...
Nee, nee, keine neue Substitution, einfache Bruchrechnung tut's:
Zunächst ziehe mal die [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] vor das Integral:
[mm] $\int{\frac{t-3}{2t} \ dt}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{t-3}{t} \ dt}$
[/mm]
Ich schreibe das bewusst ohne Grenzen, die musst du noch berechnen 
Dann ist [mm] $\frac{t-3}{t}=\frac{t}{t}-\frac{3}{t}=1-\frac{3}{t}$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{t-3}{t} \ dt}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\left(1-\frac{3}{t}\right) \ dt}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{1 \ dt} [/mm] \ - \ [mm] \frac{3}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{t} \ dt}$
[/mm]
Und das ist doch machbar ...
LG
schachuzipus
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