Integration durch Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mi 02.05.2007 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Man betsimme folgendes unbestimmtes Integral:
[mm] \integral {\bruch{dx}{(x^2+x+1)^2}} [/mm] |
Hallo,
kann mir hier vielleicht jemand helfen? Ich denke das man hier die Substitutionsregel anwenden kann. Aber wie? Ich kenne bereits das Ergebnis allerdings weiß ich nicht genau wie man dahin kommt.
Meine Vermutung ist u = [mm] x^2+x+1.
[/mm]
Wäre für jede Hilfe/jeden Ansatz dankbar.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mi 02.05.2007 | | Autor: | nsche |
etliche lösbare Intergrale haben im Nenner so etwas wie [mm] x^2 \pm a^2 [/mm] stehen.
In deiner Aufgabe kriegst du den Nenner mittels quadratischer Ergänzung in so eine Gestalt:
[mm]x ^2 +x+1 = (x+\bruch {1}{2} )^2 + \bruch{3}{4} [/mm]
dann [mm]t=x+\bruch{1}{2}[/mm]
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 02.05.2007 | | Autor: | vicky |
... aber muß ich nicht noch das äußere Quadrat [mm] (...)^2 [/mm] beachten???
Kann leider nicht soviel mit dem Hinweis anfangen aber trotzdem vielen Dank für die Mühe.
Gruß
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Do 03.05.2007 | | Autor: | nsche |
bitte entschuldige die späte Reaktion
die 1 im Nenner kannst du schreiben als
[mm] t^2 - t^2 + \bruch {3}{4} * \bruch {4}{3} [/mm]
damit kann das Integral in die Form
[mm] \bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{(t^2+ \bruch{3}{4}) - t^2}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dx} [/mm]
übergeführt werden. Nun hast du die Differenz zweier Integrale. Kommst du damit weiter ?
vG
Norbert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:26 Sa 05.05.2007 | | Autor: | vicky |
Hallo,
danke für die Antwort. Doch leider hilft mir das nicht wirklich weiter da ich nicht verstehe worauf du hinaus willst. :-(
Ich habe es mit einer Rekursionsformel versucht (bzw. eine zu entwickeln). Das Intergral für [mm] \integral\bruch{dx}{(x^2+x+1)} [/mm] habe ich bereits ermitteln können bzw. die Stammfunktion. In zahlreichen Büchern stehen Formeln für die Lösung meiner Aufgabe doch nicht wirklich der genaue Weg.
Bin für jede Hilfe sehr dankbar.
Beste Grüße
vicky
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:12 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Kari |
Hallo!
Ich habe genau die gleiche Aufgabe zu lösen.
Auf eine Rekursionsformel komme ich auch, aber ich weiß nicht, wie ich die dann lösen kann.
Meine Lösung lautet bisher mit [mm] D=\bruch{3}{4} [/mm] und [mm] t=(\bruch{x}{\wurzel{D}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{D}})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{D*\wurzel{D}}\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)²}}
[/mm]
Das Integral wird dann zu einer rekursiven Formen
[mm] I=\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)²}}=\bruch{t}{(t²+1)²}+4\integral_{}^{}{\bruch{t²dt}{(t²+1)³}}
[/mm]
= [mm] \bruch{t}{(t²+1)²}+4\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)²}}-4\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t²+1)³}}
[/mm]
Die letzten beiden Terme wiederholen sich ja. Wie löse ich denn so etwas? Ich habe davon leider keine Ahnung :(
LG Kari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 So 06.05.2007 | | Autor: | nsche |
darf ich hier noch mal ansetzen?
$ [mm] \bruch [/mm] {4}{3} [mm] \integral_{}^{}{\bruch{(t^2+ \bruch{3}{4}) - t^2}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm] $
[mm] = \bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(t^2+\bruch{3}{4})}} - \bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{(t^2)}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]
das erste Integral ist eines der Grundintegrale das zweite läßt sich umformen zu:
[mm]\bruch {4}{2*3} \integral_{}^{}{\bruch{(2*t*t)}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]
[mm]= \bruch {2}{3} \integral_{}^{}{t \bruch{(2*t)}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]
[mm]= -\bruch {2}{3} \integral_{}^{}{t (\bruch{1}{t+\bruch{3}{4}})' dt} [/mm]
und ist möglicherweise mittels partieller Integration zu knacken.
vG
Norbert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 06.05.2007 | | Autor: | Kari |
Hallo Norbert!
Diese Vorgehensweise verstehe ich und ich könnte das Integral auch lösen. Vielen Dank für den Tip!
Ich verstehe allerdings nicht, wie Du auf dieses Integral
[mm]\bruch {4}{3} \integral_{}^{}{\bruch{(t^2+ \bruch{3}{4}) - t^2}{(t^2+\bruch{3}{4})^2} dt}[/mm]
kommst. Ich habe versucht nachzuvollziehen, wie der Nenner zustande kommt, es aber bisher nicht verstanden. *seufz*
Es wäre klasse, wenn Du so nett wärest, mir da auf die Sprünge zu helfen .
Danke
LG Kari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 So 06.05.2007 | | Autor: | nsche |
hallo Kari,
$ x ^2 +x+1 = [mm] (x+\bruch [/mm] {1}{2} [mm] )^2 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4} [/mm] $
mit $ [mm] t=x+\bruch{1}{2} [/mm] $
wird daraus [mm]t^2 + \bruch{3}{4}[/mm]
das führt auf das Integral:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt} [/mm]
nun wär's gut das Quadrat des Nenners wär weg und/oder im Zähler gäb's was in Richtung: Ableitung des Nenners.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{\bruch{3}{4}\bruch{4}{3}}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt} = [/mm]
[mm] \bruch{4}{3}\integral_{}^{}{\bruch{\bruch{3}{4}}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt} = [/mm]
[mm] \bruch{4}{3}\integral_{}^{}{\bruch{t^{2} +\bruch{3}{4} -t^{2}}{(t^2 + \bruch{3}{4})^2} dt}[/mm]
vG
Norbert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 So 06.05.2007 | | Autor: | Kari |
Großartig! Vielen Dank! Ich habe die Substitution [mm] t=x+\bruch{1}{2} [/mm] einfach verplant.
Danke noch mal :)
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