Integration durch Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Sa 27.01.2007 | | Autor: | riegerja |
| Aufgabe | Bestimme die Stammfunktion der folgenden Gleichung:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(6x+4)^5 dx} [/mm] müssen wir so umformen, dass wir die Stammfunktion angeben können.
Mit y= f(z) und z(x) wird hier Substituiert. [mm] f(z)=z^5 [/mm] und z=6x+4 [mm] \Rightarrow \bruch{dz}{dx}=6 \Rightarrow [/mm] dx= [mm] \bruch{1}{6}dz
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{f(z^5*\bruch{1}{6}) dz}=\bruch{1}{6}*\integral_{a}^{b}{f(z^5)dz }=\bruch{1}{36}*z^6+C
[/mm]
Da z=6x+4 ist ,wird [mm] \integral_{a}^{b}{f(6x+4)^5 dx}=\bruch{1}{36}*(6x+4)^6+C [/mm] |
Wir haben im Matheunterricht diese Aufgabe versucht zu lösen, aber ich habe nicht verstanden, wie die Integration durch Substitution funktioniert, deshabh hofte ich, ihr könnt mir erklären, wie mann auf dieses Ergebnis kommt und wie die Integration durch Substitution funktioniert.
Die Aufgabe habe ih so aus unserem MAthebuch über nommen (inklusive Lösung)
Konkret: Ich weiß nicht was man überhaupt bei der Integration durch Substitution machen muss /versuchen muss.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo riegerja,
die Idee der Substitution ist es, einen unhandlichen Ausdruck so umzuformen, dass er einfacher zu handhaben ist. In Deinem Beispiel ist es klar, dass eine Funktion mit einer derartigen Abhängigkeit von x sehr unschön zu integrieren ist, wenn man jedoch für das Funktionenargument einen einfacheren Ausdruck findet, steht die Chance sehr hoch, dass man damit weiterrechnen kann, zu einem Ergebnis kommt und am Ende diese Substitution wieder rückgängig macht. Diesen Weg zeigt die Rechnung, die Du angegeben hast. Da es ja nicht hilft, nur Teile des Ausdrucks zu substituieren, muss man bei der Integralrechnung demzufolge auch den Integraloperator durch die neue Funktion ersetzen. Dies ist genau über die Bestimmung der Ableitung geschehen, man weiss jetzt, dass man dx durch $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] dz $ ersetzen muss. Somit lässt sich das alte Integral über x komplett nun als Integral über z darstellen.
Es gibt leider keinen Königsweg, um gute Substitutionen zu finden, hier hilft die Übung weiter und ein gewisses Bauchgefühl, das sich im Laufe der Zeit einstellt.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 So 28.01.2007 | | Autor: | riegerja |
Danke schön, hat mir weiter geholfen.
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