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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Sa 09.06.2012 | | Autor: | db60 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{p+1}} \summe_{k=1}^{n} k^{p} [/mm] |
Die Obersumme kann man ja so aufschreiben:
[mm] \summe_{i=1}^{n} f(t_{1})*(x_{i}-x_{i-1}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(t) dx}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{p+a}} \summe_{k=1}^{n} k^{p}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{k}{n})^{p} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{k}{n})^{p} [/mm] * [mm] (\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n})
[/mm]
Wie kommt dieser Teil zustande [mm] (\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n}) [/mm] ? Das habe ich nicht verstanden ?
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Hallo db60,
> [mm]=\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} (\bruch{k}{n})^{p}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{k}{n})^{p}[/mm] * [mm](\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n})[/mm]
>
> Wie kommt dieser Teil zustande
> [mm](\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n})[/mm] ? Das habe ich nicht
> verstanden ?
Da ist einfach [mm] \bruch{1}{n} [/mm] in die Summe hineingezogen worden (konstanter Faktor).
Dann ist als nächstes einfach eine "fette Null" addiert worden:
[mm] \bruch{1}{n}=\blue{\bruch{k}{n}-\bruch{k}{n}}+\bruch{1}{n}=\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n}
[/mm]
Die fette Null (wie auch immer sie aussieht) ist ein beliebter Rechentrick, je nachdem was man zeigen will. Sie macht natürlich nur Sinn, wenn man danach geschickter zusammenfassen kann als vorher, so wie hier.
Grüße
reverend
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