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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
| Aufgabe | | [mm] \integral{x^3*\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] |
Partielle integration geht ja nicht, da man partieller integration wieder einen Integral als produkt.
Also wollte ich mit Subst. probieren.
Habe in einem Buch 2 verschiedene Typen von Subst. gefunden (methoden)
1. [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] dx=t setzen
2. für x Wert suchen damit es t ergibt
[mm] =>x=\wurzel{1+t}
[/mm]
3. dx finden
[mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{2}{3}*(1+t)^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1+t)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
4. x und dx ersetzen
[mm] (1+t)^{7/2}*t*\bruch{3}{2}*\bruch{1}{(1+t)^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
jetzt fasse ich zusammen
[mm] \bruch{3}{2}*t*(1+t)^2
[/mm]
bruch vor integral ziehen ensteht
[mm] \integral{t*(1+t)^2}
[/mm]
das kann man mit partielle integration lösen.
ergibt
[mm] t*\bruch{1}{3}*(1+t)^3-\bruch{1}{12}*(1+t)^4
[/mm]
nach der Rücksubst. sieht das ganze irgendwie komisch aus....
hab ich überhaupt den richtigen ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
bei 3. hast du falsch abgeleitet. Das Integral berechnest du so:
x=cos u
[mm] \wurzel{1-x²}=sin [/mm] u
dx=-sin u du
Jetzt hast du einen rationalen Ausdruck in sin und cos. Dafür gibt es ein explizites Verfahren.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mafiose!
Hier führt die Substitution $t \ := \ [mm] 1-x^2$ $\gdw$ $x^2 [/mm] \ = \ 1-t$ zum Ziel:
[mm] $\integral{x^3*\wurzel{1-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{x*x^2*\wurzel{t} \ \bruch{dt}{-2x}} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\integral{(1-t)*t^{\bruch{1}{2}} \ dt} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
ja so sieht es schon besser aus :)
aber ich glaub ich hab falsches ergebniss..
u=(1-t)
u'=-1
[mm] v'=t^\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] v=\bruch{2}{3}*t^\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] uv-\integral{u'v}
[/mm]
[mm] =>(1-t)*\bruch{2}{3}*t^\bruch{3}{2}-\bruch{4}{15}*(1-x^2)^\bruch{5}{2}
[/mm]
stimmt es soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mafiose!
Zum einen machst Du einen Vorzeichenfehler. Und dann musst Du auch im ersten Teil jeweils das $t_$ ersetzen durch [mm] $1-x^2$ [/mm] . Und auch den Faktor [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] nicht vergessen:
$F(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}*\left[\bruch{2}{3}*x^2*\left(1-x^2\right)^{\bruch{3}{2}} \ \red{+} \ \bruch{4}{15}*\left(1-x^2\right)^{\bruch{5}{2}}\right] [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{3}*x^2*\left(1-x^2\right)^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{2}{15}*\left(1-x^2\right)^{\bruch{5}{2}}+C$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 29.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
arghhh ....stimmt u' vergessen :)
ich hab auf integrals.wolfram (Web) das integral eingegeben, da kommt aber was anderes....
nämlich das hier:
[mm] -\bruch{1}{15}*(1-x²)^\bruch{3}{2}*(3x²+2)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 So 29.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mafiose!
Dieses Ergebnis scheint mir aber nicht zu stimmen. Leite es doch mal wieder gemäß  Produktregel ab.
Bei meinem o.g. Ergebnis könnte man noch etwas zusammenfassen, indem man z.B. [mm] $-\bruch{1}{15}*\left(1-x^2\right)^{\bruch{3}{2}}$ [/mm] ausklammert.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 So 29.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
hm..ja könnte sein, dass die Seite falsch berechnet.
Kennst du vlt. noch eine seite wo man integrieren kann?
http://integrals.wolfram.com da hab ich das Ergebniss her.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Mafiose |
danke für die Vorgeschlagene Lösungswege. WEnn ich dies so rechne, komm ich aufs gleiches ergebniss.
Nur ich habe in einer Formelsammlung folgendes gefunden
[mm] \integral{x³*\wurzel{a²-x²}) dx}=\bruch{1}{5}*\wurzel{(a²-x²)^5}-\bruch{a²}{3}*\wurzel{(a²-x²)^3}
[/mm]
d.h. die Lösung müsste so aussehen:
[mm] \bruch{1}{5}*\wurzel{(1-x²)^5}-\bruch{1}{3}*\wurzel{(1-x²)^3}
[/mm]
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> WEnn ich dies so
> rechne, komm ich aufs gleiches ergebniss.
> Nur ich habe in einer Formelsammlung folgendes gefunden...
> ...die Lösung müsste so aussehen:
>
> [mm]\bruch{1}{5}*\wurzel{(1-x²)^5}-\bruch{1}{3}*\wurzel{(1-x²)^3}[/mm]
Hallo,
mit ein bißchen Rechnen kannst Du feststellen, daß beider Ergebnisse gleich sind.
Gruß v. Angela
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