Integration II < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Fr 24.10.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Sei [mm] B_{R}(0) \subset \IR^3
[/mm]
Berechne [mm] \integral_{B_{R}(0)} (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2) [/mm] dx dy dz |
Hi,
hier habe ich dann Kugelkoordinaten gewählt um kam dann auf:
1.
[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} (r^2 sin^2 \theta cos^2 \phi [/mm] + [mm] r^2 sin^2 \theta sin^2 \phi [/mm] + [mm] r^2 cos^2 \theta) r^2 [/mm] sin [mm] \theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi
[/mm]
2. Ausklammern von [mm] r^2 [/mm] und zusammenfassen von cos und sin ergibt dann:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} r^4 [/mm] sin [mm] \theta [/mm] dr [mm] d\theta d\phi
[/mm]
3. Integration nach r und einsetzen der Grenzen ergibt dann:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} (\bruch{R^5}{5} [/mm] sin [mm] \theta) d\theta d\phi
[/mm]
4. Integration nach [mm] \theta [/mm] und einsetzen:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \bruch{2R^5}{5} d\phi
[/mm]
5. Integration nach [mm] \phi [/mm] und einsetzen
[mm] \bruch{2R^5}{5}*2\pi [/mm] = [mm] \bruch{4 \pi R^5}{5}
[/mm]
Stimmt das Ergebnis ?
Danke im Voraus
Marc
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Fr 24.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]B_{R}(0) \subset \IR^3[/mm]
>
> Berechne [mm]\integral_{B_{R}(0)} (x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)[/mm] dx dy dz
> Hi,
>
> hier habe ich dann Kugelkoordinaten gewählt um kam dann
> auf:
>
> 1.
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} (r^2 sin^2 \theta cos^2 \phi[/mm]
> + [mm]r^2 sin^2 \theta sin^2 \phi[/mm] + [mm]r^2 cos^2 \theta) r^2[/mm] sin
> [mm]\theta[/mm] dr [mm]d\theta d\phi[/mm]
>
> 2. Ausklammern von [mm]r^2[/mm] und zusammenfassen von cos und sin
> ergibt dann:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \integral_{0}^{R} r^4[/mm]
> sin [mm]\theta[/mm] dr [mm]d\theta d\phi[/mm]
>
> 3. Integration nach r und einsetzen der Grenzen ergibt
> dann:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} (\bruch{R^5}{5}[/mm]
> sin [mm]\theta) d\theta d\phi[/mm]
>
> 4. Integration nach [mm]\theta[/mm] und einsetzen:
>
> [mm]\integral_{0}^{2 \pi} \bruch{2R^5}{5} d\phi[/mm]
>
> 5. Integration nach [mm]\phi[/mm] und einsetzen
>
> [mm]\bruch{2R^5}{5}*2\pi[/mm] = [mm]\bruch{4 \pi R^5}{5}[/mm]
>
> Stimmt das Ergebnis ?
Perfekt !
FRED
>
> Danke im Voraus
>
> Marc
|
|
|
|
