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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 22.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Bilden Sie die Stammfunktion:
[mm] I=\wurzel{1-x^{2}}dx [/mm] |
Guten Mittag,
diese allseits beliebte und bekannte Aufgabe hat nun auch mich erreicht und nun stelle ich mir hier folgende Frage.
[mm] I=\wurzel{1-x^{2}}dx
[/mm]
Allgemeines hierzu:
[mm] R^{2}=y^{2}+x^{2}
[/mm]
[mm] y=\wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Nun kommt meine Lösung auf die Idee mit sin(u)=x zu substituieren. Wieso denn mit sin(u)? Klar, ich hab mir den Einheitskreis schon aufgemalt, erkenne auch die Zusammenhänge, aber diesen nicht. Ich denke immer, dass man cos(u)=x substituieren muss, da cos ja die x-Achse im Einheitskreis wiederspiegelt. Ihr habt da bestimmt eine Idee?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bilden Sie die Stammfunktion:
>
> [mm]I=\wurzel{1-x^{2}}dx[/mm]
Es geht also um
$ [mm] \integral \wurzel{1-x^{2}}dx$
[/mm]
> Guten Mittag,
>
> diese allseits beliebte und bekannte Aufgabe hat nun auch
> mich erreicht und nun stelle ich mir hier folgende Frage.
>
> [mm]I=\wurzel{1-x^{2}}dx[/mm]
>
> Allgemeines hierzu:
>
> [mm]R^{2}=y^{2}+x^{2}[/mm]
>
> [mm]y=\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
>
> Nun kommt meine Lösung auf die Idee mit sin(u)=x zu
> substituieren. Wieso denn mit sin(u)? Klar, ich hab mir den
> Einheitskreis schon aufgemalt, erkenne auch die
> Zusammenhänge, aber diesen nicht.
Mach doch einfach mal. Du bekommst:
$ [mm] \integral [/mm] |cos(u)|*cos(u) du $
> Ich denke immer, dass
> man cos(u)=x substituieren muss,
Das geht auch, probiers mal.
> da cos ja die x-Achse im
> Einheitskreis wiederspiegelt
Kleb doch nicht an den Bezeichnungen.
Wenn die Aufgabe lautet
berechne
$ [mm] \integral \wurzel{1- \tau^{2}}d \tau [/mm] $
hast Du dann auch solche Skrupel die Substitution $sin(u)= [mm] \tau$ [/mm] vorzunehmen ?
FRED
> . Ihr habt da bestimmt eine
> Idee?
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 22.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> > Bilden Sie die Stammfunktion:
> >
> > [mm]I=\wurzel{1-x^{2}}dx[/mm]
> > Guten Mittag,
> >
> > diese allseits beliebte und bekannte Aufgabe hat nun auch
> > mich erreicht und nun stelle ich mir hier folgende Frage.
> >
> > [mm]I=\wurzel{1-x^{2}}dx[/mm]
> >
> > Allgemeines hierzu:
> >
> > [mm]R^{2}=y^{2}+x^{2}[/mm]
> >
> > [mm]y=\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
> >
> > Nun kommt meine Lösung auf die Idee mit sin(u)=x zu
> > substituieren. Wieso denn mit sin(u)? Klar, ich hab mir den
> > Einheitskreis schon aufgemalt, erkenne auch die
> > Zusammenhänge, aber diesen nicht.
>
> Mach doch einfach mal. Du bekommst:
>
> [mm]\integral |cos(u)|*cos(u) du[/mm]
>
> > Ich denke immer, dass
> > man cos(u)=x substituieren muss,
>
> Das geht auch, probiers mal.
>
>
>
> > da cos ja die x-Achse im
> > Einheitskreis wiederspiegelt
>
Danke für Deine Antwort FRED. Ich nehme es jetzt einfach so an. So richtig klar ist es mir allerdings noch nicht.
Nachdem ich sin substituiert habe, komme ich wie FRED oben auch auf:
[mm] \integral [/mm] cos(u)*cos(u) du
Partielle Integration:
u=cos(u)
u'=-sin(u)
v'=cos(u)
v=sin(u)
[mm] ...=cos(u)*sin(u)-\integral [/mm] -sin(u)*sin(u) du
[mm] ...=cos(u)*sin(u)+\integral sin^{2}(u) [/mm] du
In der Lösung wird jetzt im Integral wieder [mm] sin^{2}(u) [/mm] du durch [mm] 1-cos^{2} [/mm] du ersetzt. Wieso das?
Geht es nicht einfach so?
[mm] ...=cos(u)*sin(u)-\bruch{1}{2}cos^{2}(u)
[/mm]
Vielen Dank nochmal!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau!
> [mm]...=cos(u)*sin(u)-\integral[/mm] -sin(u)*sin(u) du
>
> [mm]...=cos(u)*sin(u)+\integral sin^{2}(u)[/mm] du
>
> In der Lösung wird jetzt im Integral wieder [mm]sin^{2}(u)[/mm] du
> durch [mm]1-cos^{2}[/mm] du ersetzt. Wieso das?
Weil nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt:
[mm]\sin^2(x)+\cos^2(x) \ = \ 1[/mm]
> Geht es nicht einfach so?
> [mm]...=cos(u)*sin(u)-\bruch{1}{2}cos^{2}(u)[/mm]
Diese Frage kannst Du Dir hoffentlich selber beantworten, indem Du mal ableitest.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 22.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hallo nochmal,
>
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> > [mm]...=cos(u)*sin(u)-\integral[/mm] -sin(u)*sin(u) du
> >
> > [mm]...=cos(u)*sin(u)+\integral sin^{2}(u)[/mm] du
> >
> > In der Lösung wird jetzt im Integral wieder [mm]sin^{2}(u)[/mm] du
> > durch [mm]1-cos^{2}[/mm] du ersetzt. Wieso das?
>
> Weil nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt:
>
> [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x) \ = \ 1[/mm]
>
>
> > Geht es nicht einfach so?
> > [mm]...=cos(u)*sin(u)-\bruch{1}{2}cos^{2}(u)[/mm]
>
> Diese Frage kannst Du Dir hoffentlich selber beantworten,
> indem Du mal ableitest.
also es geht nicht, es kommen verschiedene Ergebnisse raus. Also muss ich das immer mit dem trigonometrischen Pythagoras lösen, wenn ich einen solchen Ausdruck im Integral stehen habe. Also auch bei [mm] cos^{2}(u)
[/mm]
>
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo mbau16,
> Hallo nochmal,
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> >
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> > > [mm]...=cos(u)*sin(u)-\integral[/mm] -sin(u)*sin(u) du
> > >
> > > [mm]...=cos(u)*sin(u)+\integral sin^{2}(u)[/mm] du
> > >
> > > In der Lösung wird jetzt im Integral wieder [mm]sin^{2}(u)[/mm] du
> > > durch [mm]1-cos^{2}[/mm] du ersetzt. Wieso das?
> >
> > Weil nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt:
> >
> > [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x) \ = \ 1[/mm]
> >
> >
> > > Geht es nicht einfach so?
> > > [mm]...=cos(u)*sin(u)-\bruch{1}{2}cos^{2}(u)[/mm]
> >
> > Diese Frage kannst Du Dir hoffentlich selber beantworten,
> > indem Du mal ableitest.
>
> also es geht nicht, es kommen verschiedene Ergebnisse raus.
> Also muss ich das immer mit dem trigonometrischen
> Pythagoras lösen, wenn ich einen solchen Ausdruck im
> Integral stehen habe. Also auch bei [mm]cos^{2}(u)[/mm]
Ja.
> >
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> mbau16
Gruss
MathePower
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