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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mo 06.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Ausdruck:
[mm] I=\integral_{-\pi}^{\bruch{\pi}{3}}sin(3t)*(e^{-t})^{3}*dt [/mm] |
Moin,
habe eine Frage an Euch.
[mm] I=\integral_{-\pi}^{\bruch{\pi}{3}}sin(3t)*(e^{-t})^{3}*dt
[/mm]
1.Partielle Integration (unbestimmt):
[mm] \integral uv'=uv-\integral [/mm] u'v dt
[mm] u=(e^{-t})^{3}=e^{-3t}
[/mm]
[mm] u'=-3e^{-3t}
[/mm]
v'=sin(3t)
[mm] v=-\bruch{1}{3}cos(3t)
[/mm]
[mm] I=e^{-3t}*\left(-\bruch{1}{3}cos(3t)\right)-\integral -3e^{-3t}*\left(-\bruch{1}{3}cos(3t)\right)*dt
[/mm]
[mm] I=e^{-3t}*\left(-\bruch{1}{3}cos(3t)\right)-\integral e^{-3t}*\left(cos(3t)\right)*dt
[/mm]
2.Partielle Integration (unbestimmt):
[mm] u=e^{-3t}
[/mm]
[mm] u'=-3e^{-3t}
[/mm]
v'=cos(3t)
[mm] v=\bruch{1}{3}sin(3t)
[/mm]
[mm] I=e^{-3t}*\left(-\bruch{1}{3}cos(3t)\right)-e^{-3t}*\bruch{1}{3}sin(3t)-\integral -3e^{-3t}*\bruch{1}{3}sin(3t) [/mm] dt
[mm] I=e^{-3t}*\left(-\bruch{1}{3}cos(3t)\right)-e^{-3t}*\bruch{1}{3}sin(3t)+\integral e^{-3t}*sin(3t) [/mm] dt
[mm] I=e^{-3t}*\left(-\bruch{1}{3}cos(3t)\right)-e^{-3t}*\bruch{1}{3}sin(3t)+I
[/mm]
Mein Problem ist das Vorzeichen vor dem I. Das sollte negativ sein, da ich es ja auf die andere Seite bringen muss, um an I zu kommen. Ich muss irgendwo einen Feheler gemacht haben. Könnt Ihr bitte mal schauen, ob Ihr ihn findet?
Vielen, vielen Dank!
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mo 06.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] I=\integral_{-\pi}^{\bruch{\pi}{3}}sin(3t)\cdot{}(e^{-t})^{3}\cdot{}dt [/mm]
Wenn du die Partielle Integration andersherum machst, sollte es klappen.
Also:
[mm] \int\sin(3t)\cdot e^{-3t}dt [/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]-\int-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot3\cos(3t)dt [/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\int\cos(3t)\cdot e^{-3t}dt [/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\left[\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\cos(3t)\right]-\int(-3\sin(3t))\cdot\left(-\frac{1}{3}e^{-3t}\right)dt\right] [/mm]
[mm] =\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\left[\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\cos(3t)\right]-\int\sin(3t)\cdot e^{-3t}dt\right] [/mm]
Jetzt kannst du das Integral auf beiden Seiten addieren.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mo 06.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo
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> Du hast:
>
> [mm]I=\integral_{-\pi}^{\bruch{\pi}{3}}sin(3t)\cdot{}(e^{-t})^{3}\cdot{}dt[/mm]
>
> Wenn du die Partielle Integration andersherum machst,
> sollte es klappen.
>
> Also:
>
> [mm]\int\sin(3t)\cdot e^{-3t}dt[/mm]
>
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]-\int-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot3\cos(3t)dt[/mm]
>
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\int\cos(3t)\cdot e^{-3t}dt[/mm]
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\left[\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\cos(3t)\right]-\int(-3\sin(3t))\cdot\left(-\frac{1}{3}e^{-3t}\right)dt\right][/mm]
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\left[\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\cos(3t)\right]-\int\sin(3t)\cdot e^{-3t}dt\right][/mm]
>
> Jetzt kannst du das Integral auf beiden Seiten addieren.
>
> Marius
Hallo,
danke für Deine schnelle Antwort. Aber es müsste doch auch mit meiner Version klappen, oder kann es passieren, dass ich mein u und v# wechseln muss?
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mo 06.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
> >
> > Du hast:
> >
> >
> [mm]I=\integral_{-\pi}^{\bruch{\pi}{3}}sin(3t)\cdot{}(e^{-t})^{3}\cdot{}dt[/mm]
> >
> > Wenn du die Partielle Integration andersherum machst,
> > sollte es klappen.
> >
> > Also:
> >
> > [mm]\int\sin(3t)\cdot e^{-3t}dt[/mm]
> >
> >
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]-\int-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot3\cos(3t)dt[/mm]
> >
> >
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\int\cos(3t)\cdot e^{-3t}dt[/mm]
> >
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\left[\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\cos(3t)\right]-\int(-3\sin(3t))\cdot\left(-\frac{1}{3}e^{-3t}\right)dt\right][/mm]
> >
> [mm]=\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\sin(3t)\right]+\left[\left[-\frac{1}{3}e^{-3t}\cdot\cos(3t)\right]-\int\sin(3t)\cdot e^{-3t}dt\right][/mm]
> >
> > Jetzt kannst du das Integral auf beiden Seiten addieren.
> >
> > Marius
>
> Hallo,
>
> danke für Deine schnelle Antwort. Aber es müsste doch
> auch mit meiner Version klappen, oder kann es passieren,
> dass ich mein u und v# wechseln muss?
>
> Gruß
>
> mbau16
Du musst in der Tat wechseln, das ist ein bekanntes Problem bei der Partiellen Itegration, das bei der einen Wahl von u und v' das Integral herausfallen würde, bei der anderen Wahl kann man aber addieren.
Du hast also keinen Fehler gemacht, nur unglücklich gewählt.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Mo 06.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß
mbau16
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