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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kozlak |
| Aufgabe | Berechne den Fluß des Vektorfeldes v: [mm] R^3 [/mm] -> [mm] R^3,
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}->\bruch{1}{3} \vektor{x^3+y^3+z^3 \\ x^3+y^3+z^3 \\ x^3+y^3+z^3 } [/mm] durch die Oberfläche einer Kgel mit Radius 2 und Mittelpunkt im Ursprung. Benutz den Satz von Gauß. |
Moin,
komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter und hoffe auf Unterstützung.
Das Ergebnis ist mit [mm] \bruch{128*\pi}{5} [/mm] vorgegeben.
Was ich bisher habe:
Nach Gauß gilt [mm] \integral\integral_{\partial R}^{}{\vec{v}*d\vec{O}}=\integral_{\ R}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{div\vec{v} dxdydz}.
[/mm]
somit [mm] \integral_{\ R}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{x^2+y^2+z^2 dxdydz}.
[/mm]
Für die Integrationsgrenzen habe ich für x, y, z 2 und -2. Nehme aber an, dass das nicht stimmt...führt ja auch nicht zum gegebenem Endergebnis.
Auch nach Verwendung von Kugelkoordinaten komme ich nicht weiter:
[mm] \integral_{\ R}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{x^2+y^2+z^2 dxdydz} [/mm] -> [mm] \integral_{0}^{2pi}\integral_{0}^{pi}\integral_{0}^{2}{r^2(sin^2 \alpha*cos^2 \gamma +sin^2 \alpha*sin^2\gamma+cos^2\alpha)d\alpha d\gamma dr} [/mm] . Nach dem Einsetzen der Integrationgrenzen komme ich wieder nicht auf das gleiche Ergebnis.
Für Tipps wäre ich dankbar,
kozlak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechne den Fluß des Vektorfeldes v: [mm]R^3[/mm] -> [mm]R^3,[/mm]
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}->\bruch{1}{3} \vektor{x^3+y^3+z^3 \\ x^3+y^3+z^3 \\ x^3+y^3+z^3 }[/mm]
> durch die Oberfläche einer Kgel mit Radius 2 und
> Mittelpunkt im Ursprung. Benutz den Satz von Gauß.
> Moin,
>
> komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter und hoffe
> auf Unterstützung.
>
> Das Ergebnis ist mit [mm]\bruch{128*\pi}{5}[/mm] vorgegeben.
>
> Was ich bisher habe:
>
> Nach Gauß gilt [mm]\integral\integral_{\partial R}^{}{\vec{v}*d\vec{O}}=\integral_{\ R}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{div\vec{v} dxdydz}.[/mm]
>
>
> somit [mm]\integral_{\ R}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{x^2+y^2+z^2 dxdydz}.[/mm]
>
> Für die Integrationsgrenzen habe ich für x, y, z 2 und
> -2. Nehme aber an, dass das nicht stimmt.
Bei diesen Grenzen würdest Du über einen Würfel mit der Kantenlänge 4 integrieren !!!!
> ..führt ja auch
> nicht zum gegebenem Endergebnis.
>
> Auch nach Verwendung von Kugelkoordinaten komme ich nicht
> weiter:
> [mm]\integral_{\ R}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{x^2+y^2+z^2 dxdydz}[/mm]
> ->
> [mm]\integral_{0}^{2pi}\integral_{0}^{pi}\integral_{0}^{2}{r^2(sin^2 \alpha*cos^2 \gamma +sin^2 \alpha*sin^2\gamma+cos^2\alpha)d\alpha d\gamma dr}[/mm]
> . Nach dem Einsetzen der Integrationgrenzen komme ich
> wieder nicht auf das gleiche Ergebnis.
1. [mm] $sin^2 \alpha*cos^2 \gamma +sin^2 \alpha*sin^2\gamma+cos^2\alpha=1$
[/mm]
Ist Dir klar, warum ?
Damit gilt
2.
$ [mm] \integral_{\ R}\integral_{}^{}\integral_{}^{}{x^2+y^2+z^2 dxdydz} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{2 \pi}\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2}{r^2 ~ blabla ~d\alpha d\gamma dr} [/mm] $
Was mußt Du für "blabla" eintragen ?
Auch über die Reihenfolge von $d [mm] \alpha [/mm] d [mm] \gamma [/mm] dr$ solltest Du Dir noch Gedanken machen. Denn so wie es oben steht, wäre z.B. $r [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi].$
[/mm]
FRED
>
> Für Tipps wäre ich dankbar,
> kozlak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kozlak |
Hallo,
und danke für die Antwort.
bei dem Fall der Integrationsgrenze hat wohl meine Schludrigkeit gesiegt.
Nach Recherchieren im Internet (naja, natürlich vorallem wiki) muss wohl für blabla die Funktionaldeterminate der parameterisierten Kugel, also [mm] r^2sin\alpha [/mm] eingesetzt werden. Warum genau, habe ich leider noch nicht ganz begriffen.
mfg,
kozlak
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Hallo kozlak,
> Hallo,
>
> und danke für die Antwort.
>
> bei dem Fall der Integrationsgrenze hat wohl meine
> Schludrigkeit gesiegt.
> Nach Recherchieren im Internet (naja, natürlich vorallem
> wiki) muss wohl für blabla die Funktionaldeterminate der
> parameterisierten Kugel, also [mm]r^2sin\alpha[/mm] eingesetzt
> werden. Warum genau, habe ich leider noch nicht ganz
> begriffen.
Für dort gewählte Parametertransformation ist das richtig.
Wählt man eine andere Parametertransformation,
lautet auch die Funktionaldeterminante anders.
>
> mfg,
> kozlak
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kozlak |
Vielen Dank!
mfg,
kozlak
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