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Integration: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Mo 04.07.2011
Autor: Student89

Aufgabe
Seien $f: [mm] \IR^3 \rightarrow \IR, [/mm] f(x,y,z)= [mm] 1/(1+x^2+y^2+z^2)$ [/mm] und
          [mm] $B=\left\{ (x,y,z)\in \IR^3 \left| x^2+y^2+z^2 \le 1 \right\}$ gegeben. Berechnen Sie das Integral $\integral_{}^{} \integral_{B}^{} \integral_{}^{} f(x,y,z)\, dxdydz$ unter Verwendung von Kugelkoordinaten. Hallo, Kugelkoordinaten sind ja $x= rcos\varphi sin\phi$ $y=rsin\varphi sin \phi$ $z=rcos\phi$ Ich weiß nicht, wie ich die Integrationsgrenzen bestimme. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Gruß [/mm]
        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Mo 04.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Student89,

> Seien f: [mm]R^3 \rightarrow[/mm] R, f(x,y,z)= [mm]1/(1+x^2+y^2+z^2)[/mm] und
> [mm]B=\left\{ (x,y,z)\in R^3 \left| x^2+y^2+z^2 \le 1 \right\} gegeben. Berechnen Sie das Integral \integral_{}^{} \integral_{B}^{} \integral_{}^{} f(x,y,z)\, dxdydz unter Verwendung von Kugelkoordinaten. Hallo, Kugelkoordinaten sind ja x= rcos\varphi sin\phi y=rsin\varphi sin \phi z=rcos\phi Ich weiß nicht, wie ich die Integrationsgrenzen bestimme. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Gruß[/mm]

Setze die Parametertransformation in

[mm]x^2+y^2+z^2 \le 1[/mm]

ein, dann erhältst Du die Grenzen für r.


Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:58 Mo 04.07.2011
Autor: Student89

Hallo,

für r habe ich dann r [mm] \le \wurzel{1}. [/mm]

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Mo 04.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Student89,

> Hallo,
>  
> für r habe ich dann r [mm]\le \wurzel{1}.[/mm]
>  


Oder einfacher: [mm]r \le 1[/mm] [ok]


> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mo 04.07.2011
Autor: Student89

Hallo,

die Parametertransformation in die Funktion eingesetzt habe ich:

[mm] \integral_{}^{} \integral_{}^{} \integral_{-1}^{1} (1/(1+r^2))*(-r^2sin\Phi\, drd\varphi d\Phi [/mm]

[mm] r^2sin\Phi [/mm] ist gleich det Funktionalmatrix.

So jetzt brauche ich nur noch die Grenzen von [mm] \varphi [/mm] und [mm] \Phi [/mm]

Gruß

Bezug
                                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mo 04.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Student89,

> Hallo,
>  
> die Parametertransformation in die Funktion eingesetzt habe
> ich:
>  
> [mm]\integral_{}^{} \integral_{}^{} \integral_{-1}^{1} (1/(1+r^2))*(-r^2sin\Phi\, drd\varphi d\Phi[/mm]
>  
> [mm]r^2sin\Phi[/mm] ist gleich det Funktionalmatrix.
>  
> So jetzt brauche ich nur noch die Grenzen von [mm]\varphi[/mm] und
> [mm]\Phi[/mm]


Die z-Achse darf nur einmal durchlaufen werden,
dies ergibt die Grenzen  für [mm]\Phi[/mm]

[mm]\varphi[/mm] durchläuft ein Vollkreis.


>  
> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
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