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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Di 08.02.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral{\bruch{2+x}{\wurzel{4x-x^2}}dx} [/mm] |
Hallo Leute!
Ich sitz schon ne Stunde darn und finde keinen Lösungswech...
Hab es erst mit partieller versucht und komm da nicht weiter. Dachte an verschiedene Substitutionen wie [mm] u=4x-x^2 [/mm] usw.
Ich habe auch an parzialbruchzerlegung gedacht, aber finde da acuh nichts.
Ich wäre dankbar für einen Tipp.
MfG
Ilya
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Hallo Ilya,
> Bestimmen Sie das folgende Integral:
>
> [mm]\integral{\bruch{2+x}{\wurzel{4x-x^2}}dx}[/mm]
> Hallo Leute!
>
> Ich sitz schon ne Stunde darn und finde keinen
> Lösungswech...
>
> Hab es erst mit partieller versucht und komm da nicht
> weiter. Dachte an verschiedene Substitutionen wie [mm]u=4x-x^2[/mm]
> usw.
>
> Ich habe auch an parzialbruchzerlegung gedacht, aber finde
> da acuh nichts.
>
> Ich wäre dankbar für einen Tipp.
Mache mal unter der Wurzel eine quadrat. Ergänzung:
Edit
[mm]4x-x^2=-\left[(x-2)^2-4\right]=4-(x-2)^2=4\cdot{}\left[1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2\right][/mm]
Das gibt dann
[mm]\frac{1}{2}\int{\frac{2+x}{\sqrt{1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2}} \ dx}[/mm]
Nun das Integral aufteilen:
[mm] $=\int{\frac{1}{\sqrt{\ldots}} \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \frac{1}{2}\int{\frac{x}{\sqrt{\ldots}} \ dx}$
[/mm]
Für das erste Integral verwende nun die Substitution [mm] $\frac{x-2}{2}=\sin(u)$ [/mm] ...
Edit Ende
Das letztere Integral kannst du wieder zurück umschreiben ...
>
> MfG
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 08.02.2011 | | Autor: | Random |
Hi schachuzipus!!! Danke für den Tipp.
Ich verstehe nur einen Schritt nicht am sonsten ist alles logisch =)
Und zwar ist mir das hier unklar: [mm] 4-(x-2)^2=\frac{1}{4}\cdot{}\left[1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2\right]
[/mm]
Was hast du hier ausgeklammert... Ich habe das Gefühl die zwei sind nicht gleich... Wenn ich da Werte einseze komme ich auf verschiedene Ergebnise rechterhand unnd linkerhand...
MfG
Ilya
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Hallo nochmal,
> Hi schachuzipus!!! Danke für den Tipp.
>
> Ich verstehe nur einen Schritt nicht am sonsten ist alles
> logisch =)
>
> Und zwar ist mir das hier unklar:
> [mm]4-(x-2)^2=\frac{1}{4}\cdot{}\left[1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2\right][/mm]
>
> Was hast du hier ausgeklammert... Ich habe das Gefühl die
> zwei sind nicht gleich... Wenn ich da Werte einseze komme
> ich auf verschiedene Ergebnise rechterhand unnd
> linkerhand...
Ohja, ich Zwerg Nase 
Zähler und Nenner verbasselt [rotwerd]
Da sollte [mm]4\cdot{}\left[1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^2\right][/mm] stehen.
Gut aufgepasst (und schlecht aufgepasst von mir ..)
Ich bastel das mal oben in der Antwort zusammen ...
>
> MfG
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 08.02.2011 | | Autor: | Random |
Warte mal das stimmt immer noch nicht xD
Ich glaube da kommt [mm] 4*(1-(\bruch{x-2}{2})^2) [/mm] raus =)
MfG
Ilya
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Hallo nochmal,
> Warte mal das stimmt immer noch nicht xD
>
> Ich glaube da kommt [mm]4*(1-(\bruch{x-2}{2})^2)[/mm] raus =) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und wieder hast du recht! Ich krieg's heute nicht auf die Palette ...
Ich editiere nochmal ...
>
> MfG
>
> Ilya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Di 08.02.2011 | | Autor: | Random |
okay das hätten wir xD
Bei der Substitution komme ich allerdings nicht weiter...
(x-2)/2=sin(u) was ist dann dx? ist es dann dx=cos(u)*du oder dx=1/cos(u) *du oder ganz was anderes ?
MfG
Ilya
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Hallo Random,
> okay das hätten wir xD
>
> Bei der Substitution komme ich allerdings nicht weiter...
>
> (x-2)/2=sin(u) was ist dann dx? ist es dann dx=cos(u)*du
> oder dx=1/cos(u) *du oder ganz was anderes ?
>
Es ist dann
[mm]dx=\blue{2}*\cos\left(u\right) \ du[/mm]
> MfG
>
> Ilya
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 08.02.2011 | | Autor: | Random |
Ah okay danke...
Also ich komme auf irgendwas komisches:
dx=2cos(u)*du
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1-sin^2(u)}}=\bruch{1}{cos(u)}*2cos(u)*du=2*du
[/mm]
Und Integral von 2 = 2x
ich kann dann keine Rücksubstitution anwenden...
Ich mache was falsch oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 08.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Random!
Was ist das Problem mit der Resubstitution?
Forme [mm] $\sin(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x-2}{2}$ [/mm] nach $x \ = \ ...$ um.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Di 08.02.2011 | | Autor: | Random |
Aso hab es glaub ich.
Also ich kann nach u auflösen und hab dann u=arcsin(1/2x-1) und da ich 2u hab hab ich einfach 2arcsin(1/2x-1)
So einfach ist das xD
Aber beim zweiten Bruch weiss ich es nicht es liegt nahe, dass auch 2arcsin(1/2x-1) dabei ist, aber partielle Integration liefert Sackgasse.
MfG
Ilya
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Hallo Random,
> Aso hab es glaub ich.
>
> Also ich kann nach u auflösen und hab dann
> u=arcsin(1/2x-1) und da ich 2u hab hab ich einfach
> 2arcsin(1/2x-1)
>
> So einfach ist das xD
>
> Aber beim zweiten Bruch weiss ich es nicht es liegt nahe,
> dass auch 2arcsin(1/2x-1) dabei ist, aber partielle
> Integration liefert Sackgasse.
Auch auf den zweiten Bruch kannst Du die Substitution anwenden.
>
> MfG
>
> Ilya
>
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 08.02.2011 | | Autor: | gfm |
> Bestimmen Sie das folgende Integral:
>
> [mm]\integral{\bruch{2+x}{\wurzel{4x-x^2}}dx}[/mm]
> Hallo Leute!
>
> Ich sitz schon ne Stunde darn und finde keinen
> Lösungswech...
>
> Hab es erst mit partieller versucht und komm da nicht
> weiter. Dachte an verschiedene Substitutionen wie [mm]u=4x-x^2[/mm]
> usw.
>
> Ich habe auch an parzialbruchzerlegung gedacht, aber finde
> da acuh nichts.
>
> Ich wäre dankbar für einen Tipp.
Es ist [mm] \frac{d}{dx}\wurzel{4x-x^2}=\frac{2-x}{\wurzel{4x-x^2}}. [/mm] Also ist [mm] \bruch{2+x}{\wurzel{4x-x^2}}=\frac{4}{\wurzel{4x-x^2}}- \frac{d}{dx}(\wurzel{4x-x^2}+C_1). [/mm] Ferner ist [mm] \frac{4}{\wurzel{4x-x^2}}=\frac{2}{\wurzel{1-(1-x/2)^2}}=-4\frac{d}{dx}(\arcsin{(1-x/2)}+C_2). [/mm] Demnach ist [mm] \bruch{2+x}{\wurzel{4x-x^2}}=-\frac{d}{dx}(4\arcsin{(1-x/2)}+\wurzel{4x-x^2}+C).
[/mm]
Hoffe es stimmt...
LG
gfm
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