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hi zusammen,
[mm] \integral {\bruch{-x+2}{x^2-x+1} dx}
[/mm]
ich komme hier irgendwie nicht weiter.... Der Nenner hat keine Nullstellen, dh Partialbruchzerlegung funktioniert hier nicht. Bleibt noch Substitution oder Partielle Integration, die man hier anwenden könnte.
Das Ergebnis ist übnrigens:
[mm] \wurzel{3}*atan(\bruch{\wurzel{3}(2x-1)}{3})-\bruch{ln(x^2-x+1}{2}
[/mm]
super, oder?^^
Ich würde gerne wissen wie ich substituieren könnte, damit ich das Integral lösen kann.
Thx im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Die Idee ist, das Integral auseinanderzunehmen.
Hat man ein Integral der Form [mm] $\int \bruch{f'(x)}{f(x)}dx$, [/mm] so ist die Lösung stets [mm] $\ln(|f(x)|)$, [/mm] falls $f(x)$ nullstellenfrei ist.
Hat man ein Integral der Form [mm] $\int\bruch{f'(x)}{f(x)^2+1}dx$, [/mm] so ist die Lösung [mm] $\arctan(f(x))$.
[/mm]
Also:
[mm] $\int \bruch{-x+2}{x^2-x+1}dx=-\bruch{1}{2}\int \bruch{2x-1}{x^2-x+1}dx+\bruch{1}{2}\int \bruch{3}{x^2-x+1}=-\bruch{1}{2}\int \bruch{2x-1}{x^2-x+1}dx+\bruch{1}{2}\int \bruch{3}{\left(x-\bruch{1}{2}\right)^2+\bruch{3}{4}}dx=-\bruch{1}{2}\int \bruch{2x-1}{x^2-x+1}dx+\int\bruch{2*3}{(2x-1)^2+3}dx$
[/mm]
[mm] $=-\bruch{1}{2}\int \bruch{2x-1}{x^2-x+1}dx+\int\bruch{2}{\big[\sqrt{3}(2x-1)\big]^2+1}dx=-\bruch{1}{2}\int \bruch{2x-1}{x^2-x+1}dx+\bruch{1}{\sqrt{3}}\int\bruch{2\sqrt{3}}{\big[\sqrt{3}(2x-1)\big]^2+1}dx$.
[/mm]
Du würdest also beim ersten Integral [mm] $t=x^2-x+1$ [/mm] substituieren und beim 2. Integral [mm] $t=\sqrt{3}(2x-1)$.
[/mm]
Die Frage ist natürlich: Wie kommt man auf diese Idee? Leider gibt es hierfür kein Patentrezept. Aber mit ein bisschen Übung kriegt man irgendwann zumindest einen Blick dafür, was man probieren könnte...
Gruß, banachella
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