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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Mo 19.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei eine Funktion f gegeben durch f(x)= ln(1 + [mm] e^{-x}).
[/mm]
Der zugehörige Graph [mm] G_{f} [/mm] und die positiven Halbachsen des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins Unendliche erstreckende Fläche F, von der untersucht werden soll, ob sie endlichen Inhalt besitzt.
a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F, die zwischen den zu x=0 und x=ln n, n>1 und n [mm] \in \IN, [/mm] gehörende Ordinate liegt.
Welches Integral gibt den Inhalt [mm] J_{n} [/mm] dieser Teilfläche an?
Geben Sie für dieses Integral eine Obersumme [mm] S_{n} [/mm] an, indem Sie im Intervall [0; ln n] die Teilungspunkte ln 2, ln 3, ..., ln (n-1) einführen und die entsprechenden Flächeninhalte durch umbeschriebene Rechtecke ersetzen. |
Hallo,
Also den 2. Teil mit der Obersumme hab ich hinbekommen, nur frag ich mich was denn mit "Welches Integral gibt den Inhalt [mm] J_{n} [/mm] dieser Teilfläche an?" gemeint ist?
Bei einer ehemaligen Abiaufgabe die immerhin mit 12 Punkten bewertet wurde, kann ich mir nicht vorstellen, dass hier Sinn und Zweck war zu antworten: [mm] J_{n}= \integral_{0}^{ln n}{f(x) dx}= \integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx}, [/mm] oder was denkt Ihr?
Also falls man es ausrechnen sollte, würd ich mit partieller Integration anfangen: [mm] \integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx}= [/mm] [x * ln(1+ [mm] e^{-x})]_{0}^{ln n} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{ln n}{\bruch{x}{1+ e^x} dx} [/mm] und hier würd ich dann hängen...
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei eine Funktion f gegeben durch f(x)= ln(1 + [mm]e^{-x}).[/mm]
> Der zugehörige Graph [mm]G_{f}[/mm] und die positiven Halbachsen
> des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins Unendliche
> erstreckende Fläche F, von der untersucht werden soll, ob
> sie endlichen Inhalt besitzt.
> a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F, die
> zwischen den zu x=0 und x=ln n, n>1 und n [mm]\in \IN,[/mm]
> gehörende Ordinate liegt.
> Welches Integral gibt den Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche
> an?
> Geben Sie für dieses Integral eine Obersumme [mm]S_{n}[/mm] an,
> indem Sie im Intervall [0; ln n] die Teilungspunkte ln 2,
> ln 3, ..., ln (n-1) einführen und die entsprechenden
> Flächeninhalte durch umbeschriebene Rechtecke ersetzen.
> Hallo,
> Also den 2. Teil mit der Obersumme hab ich hinbekommen,
> nur frag ich mich was denn mit "Welches Integral gibt den
> Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche an?" gemeint ist?
> Bei einer ehemaligen Abiaufgabe die immerhin mit 12
> Punkten bewertet wurde, kann ich mir nicht vorstellen, dass
> hier Sinn und Zweck war zu antworten: [mm]J_{n}= \integral_{0}^{ln n}{f(x) dx}= \integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx},[/mm]
> oder was denkt Ihr?
genau das ist die Antwort !
> Also falls man es ausrechnen sollte, würd ich mit
> partieller Integration anfangen: [mm]\integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx}=[/mm]
> [x * ln(1+ [mm]e^{-x})]_{0}^{ln n}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{ln n}{\bruch{x}{1+ e^x} dx}[/mm]
Du hast die Ableitung von ln (1+ [mm] e^{-x}) [/mm] falsch ! Kettenregel.
FRED
> und hier würd ich dann hängen...
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 19.04.2010 | | Autor: | ms2008de |
> > Sei eine Funktion f gegeben durch f(x)= ln(1 + [mm]e^{-x}).[/mm]
> > Der zugehörige Graph [mm]G_{f}[/mm] und die positiven
> Halbachsen
> > des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins Unendliche
> > erstreckende Fläche F, von der untersucht werden soll, ob
> > sie endlichen Inhalt besitzt.
> > a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F, die
> > zwischen den zu x=0 und x=ln n, n>1 und n [mm]\in \IN,[/mm]
> > gehörende Ordinate liegt.
> > Welches Integral gibt den Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche
> > an?
> > Geben Sie für dieses Integral eine Obersumme [mm]S_{n}[/mm] an,
> > indem Sie im Intervall [0; ln n] die Teilungspunkte ln 2,
> > ln 3, ..., ln (n-1) einführen und die entsprechenden
> > Flächeninhalte durch umbeschriebene Rechtecke ersetzen.
> > Hallo,
> > Also den 2. Teil mit der Obersumme hab ich hinbekommen,
> > nur frag ich mich was denn mit "Welches Integral gibt den
> > Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche an?" gemeint ist?
> > Bei einer ehemaligen Abiaufgabe die immerhin mit 12
> > Punkten bewertet wurde, kann ich mir nicht vorstellen, dass
> > hier Sinn und Zweck war zu antworten: [mm]J_{n}= \integral_{0}^{ln n}{f(x) dx}= \integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx},[/mm]
> > oder was denkt Ihr?
>
> genau das ist die Antwort !
>
>
>
> > Also falls man es ausrechnen sollte, würd ich mit
> > partieller Integration anfangen: [mm]\integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx}=[/mm]
> > [x * ln(1+ [mm]e^{-x})]_{0}^{ln n}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{ln n}{\bruch{x}{1+ e^x} dx}[/mm]
>
>
> Du hast die Ableitung von ln (1+ [mm]e^{-x})[/mm] falsch !
> Kettenregel.
Wieso denn, die Ableitung von f(x)= ln [mm] (1+e^{-x}) [/mm] ist doch f´(x) = [mm] \bruch{-e^{-x}}{1+ e^{-x}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{1+ e^{x}}, [/mm] naja und Stammfunktion von 1 ist x, das eine Minus zieh ich vor das integral und dann stimmts doch...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mo 19.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei eine Funktion f gegeben durch f(x)= ln(1 + [mm]e^{-x}).[/mm]
> > > Der zugehörige Graph [mm]G_{f}[/mm] und die positiven
> > Halbachsen
> > > des Koordinatensystems begrenzen eine sich ins Unendliche
> > > erstreckende Fläche F, von der untersucht werden soll, ob
> > > sie endlichen Inhalt besitzt.
> > > a) Betrachten Sie zunächst jene Teilfläche von F,
> die
> > > zwischen den zu x=0 und x=ln n, n>1 und n [mm]\in \IN,[/mm]
> > > gehörende Ordinate liegt.
> > > Welches Integral gibt den Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche
> > > an?
> > > Geben Sie für dieses Integral eine Obersumme [mm]S_{n}[/mm]
> an,
> > > indem Sie im Intervall [0; ln n] die Teilungspunkte ln 2,
> > > ln 3, ..., ln (n-1) einführen und die entsprechenden
> > > Flächeninhalte durch umbeschriebene Rechtecke ersetzen.
> > > Hallo,
> > > Also den 2. Teil mit der Obersumme hab ich
> hinbekommen,
> > > nur frag ich mich was denn mit "Welches Integral gibt den
> > > Inhalt [mm]J_{n}[/mm] dieser Teilfläche an?" gemeint ist?
> > > Bei einer ehemaligen Abiaufgabe die immerhin mit 12
> > > Punkten bewertet wurde, kann ich mir nicht vorstellen, dass
> > > hier Sinn und Zweck war zu antworten: [mm]J_{n}= \integral_{0}^{ln n}{f(x) dx}= \integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx},[/mm]
> > > oder was denkt Ihr?
> >
> > genau das ist die Antwort !
> >
> >
> >
> > > Also falls man es ausrechnen sollte, würd ich mit
> > > partieller Integration anfangen: [mm]\integral_{0}^{ln n}{ln (1+ e^{-x}) dx}=[/mm]
> > > [x * ln(1+ [mm]e^{-x})]_{0}^{ln n}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{ln n}{\bruch{x}{1+ e^x} dx}[/mm]
> >
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> > Du hast die Ableitung von ln (1+ [mm]e^{-x})[/mm] falsch !
> > Kettenregel.
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> Wieso denn, die Ableitung von f(x)= ln [mm](1+e^{-x})[/mm] ist doch
> f´(x) = [mm]\bruch{-e^{-x}}{1+ e^{-x}}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{1+ e^{x}},[/mm]
Pardon, Du hast recht. Ich hab nicht richtig hingesehen
FRED
> naja und Stammfunktion von 1 ist x, das eine Minus zieh ich
> vor das integral und dann stimmts doch...?
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