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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 13.11.2009 | | Autor: | daisy23 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{[\integral_{y}^{1}{\bruch{sinx}{x}dx }] dy} [/mm] |
Hallo!
Ich brauche dringend einen Tipp, wie ich den Funktion [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] integrieren kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1}{[\integral_{y}^{1}{\bruch{sinx}{x}dx }] dy}[/mm]
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> Hallo!
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> Ich brauche dringend einen Tipp, wie ich den Funktion
> [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] integrieren kann.
Hi Daisy,
wie Roadrunner schon gesagt hat: man braucht eine
Reihendarstellung, da sich dieses Integral nicht mittels
Integrationsregeln vereinfachen und berechnen lässt.
Das Integral ist aber so wichtig, dass die dazu gehörige
Stammfunktion trotzdem einen eigenen Namen erhalten
hat:
![[]](/images/popup.gif) Integralsinus
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 13.11.2009 | | Autor: | daisy23 |
Erstmal danke für die Tipps, aber ich komme mit dieser Integration immer noch nicht klar. Wie soll ich mit Integralsinus umgehen, ist mir irgendwie unklar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also die Idee ist wie folgt:
[mm] $\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1}\frac{\sin(x)}{x}dx\right]dy=\int_{0}^{1}Si(1)-Si(y)dy=Si(1)-\int_{0}^{1}Si(y)dy=Si(1)-\left[y\cdot Si(y)+\cos(y)\right]_{0}^{1}=1-\cos(1)$
[/mm]
Du benoetigst nun sowohl fuer die Berechnung des inneren Integrals ($Si(y)$ Integralsinus) als auch zur Berechnung des aeusseren Integrals (d.h. zur Bildung der Stammfunktion des Integralsinus) die Potenzreihendarstellung der Sinusfunktion. Versuch es einmal und meld Dich wenn es nicht mehr weiter geht.
Gruss
Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 13.11.2009 | | Autor: | daisy23 |
Danke Denny22 für deine Hilfe:)
Ich habe nun das Ganze bis zum dritten Gleichheitszeichen verstanden.
Meine Frage ist nun wie man auf
[mm] \integral_{0}^{1}{Si(y)dy}=[y*Si(y)+cos(y)]
[/mm]
kommt.
Ich habe mir überlegt, es gilt doch
[mm] \integral{Si(y)dy}=\integral{\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*y^{2i+1}}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}\integral{y^{2i+1}dy}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*[\bruch{1}{2i+2}*y^{2i+2}]
[/mm]
und weiter komme ich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Danke Denny22 für deine Hilfe:)
>
> Ich habe nun das Ganze bis zum dritten Gleichheitszeichen
> verstanden.
> Meine Frage ist nun wie man auf
> [mm]\integral_{0}^{1}{Si(y)dy}=[y*Si(y)+cos(y)][/mm]
> kommt.
>
> Ich habe mir überlegt, es gilt doch
>
> [mm]\integral{Si(y)dy}=\integral{\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*y^{2i+1}}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}\integral{y^{2i+1}dy}=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{(2i+1)!*(2i+1)}*[\bruch{1}{2i+2}*y^{2i+2}][/mm]
> und weiter komme ich nicht.
Hallo,
das ist nicht so schwierig. Zeige dazu, dass die von mir angegebene Stammfunktion abgeleitet nach $y$ gerade dem Integraten (Integralsinus) entspricht:
[mm] $\frac{d}{dy}\left[y\cdot Si(y)+\cos(y)\right]$
[/mm]
[mm] $=Si(y)+y\cdot\frac{d}{dy}Si(y)-\sin(y)$ [/mm] (wegen Produktregel)
[mm] $=Si(y)+y\cdot\frac{d}{dy}\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}y^{2k+1}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]$ [/mm] (Reihendarstellung von [mm] $\sin$ [/mm] und $Si$)
[mm] $=Si(y)+y\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{(-1)^k}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}\cdot\frac{d}{dy}y^{2k+1}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]$ [/mm] (komp. Differentiation, da Reihe abs. konvergent)
[mm] $=Si(y)+y\cdot\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{(-1)^k\cdot(2k+1)}{(2k+1)!\cdot(2k+1)}y^{2k}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]$ [/mm] (Ableitung Ausrechnen)
[mm] $=Si(y)+\underbrace{\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]-\left[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}y^{2k+1}\right]}_{=0}$ [/mm] ($y$ in die Summe multiplizieren)
$=Si(y)$
Das war's. Schönes Wochenende.
Gruß
Denny
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> Meine Frage ist nun wie man auf
> [mm]\integral{Si(y)dy}=[y*Si(y)+cos(y)][/mm]
> kommt.
Ganz einfach, durch partielle Integration:
[mm] $\integral{Si(y)dy}=\integral{1*Si(y)\,dy}=y*Si(y)-\integral y*\underbrace{(Si(y)')}_{\frac{sin(y)}{y}}\,dy=y*Si(y)-\integral sin(y)\,dy=y*Si(y)+cos(y)$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 15.11.2009 | | Autor: | daisy23 |
Erstmal danke an alle die mir bei dieser Aufgabe geholfen haben.
Nun habe ich eine Idee,wie ich diese Aufgabe anders lösen kann; und möchte wissen, ob mein Lösungsvorschlag korrekt ist.
Ich ändere den Integrationsreihenfolge,also
[mm] \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x}{ \bruch{sinx}{x}dy})dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x} dx}=\integral_{0}^{1}{sinx dx}=[-cosx]=-cos(1)+cos(0)=1-cos(1).
[/mm]
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man ohne weiteres die Integrationsgrenzen ändern kann.
liebe grüße
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> Erstmal danke an alle die mir bei dieser Aufgabe geholfen
> haben.
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> Nun habe ich eine Idee,wie ich diese Aufgabe anders lösen
> kann; und möchte wissen, ob mein Lösungsvorschlag korrekt
> ist.
> Ich ändere den Integrationsreihenfolge,also
> [mm]\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x}{ \bruch{sinx}{x}dy})dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{sinx}{x}\red{*x}\, dx}=\integral_{0}^{1}{sinx dx}=[-cosx]=-cos(1)+cos(0)=1-cos(1).[/mm]
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> Ich bin mir aber nicht sicher, ob man ohne weiteres die
> Integrationsgrenzen ändern kann.
>
> liebe grüße
Hallo Daisy,
das ist tatsächlich richtig ! Und man fragt sich mal
wieder, warum das keiner von uns gemerkt hat !
Nur beim Aufschreiben ist dir ein kleiner Lapsus
passiert (ich hab den fehlenden Faktor x
noch reingesetzt).
LG Al-Chw.
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