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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{1/(u^3+u) du} [/mm] |
Wie kann man das Integral lösen? Die dreifache Nullstelle ist Null, dann steht später im Nenner Null, wenn man das mit Partialbruchzerlegung macht. U steht dort weil vorher substituiert wurde...
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Hallo Influ3nza!
Löse auf wie folgt:
[mm] $$\bruch{1}{u^3+u} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{u*\left(u^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{u}+\bruch{B*u+C}{u^2+1}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Wie kommt man denn darauf und wie geht das weiter. Woher kommt denn das u neben dem B und wo setze ich da jetzt die Nullstellen ein?
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Wie kann man denn einen Koeffizientenvergleich mit 1 machen? Ich hab das nun so gemacht:
[mm] 0u^2+0u+1=(A+B)u^2+Cu+A
[/mm]
A=1
B=-1
C=0
Dann hab ich:
[mm] \integral_{a}^{b}{1/u - u/(u+1) dx}
[/mm]
Falls das bis dahin richtig ist weiß ich nicht wie ich 1/(u+1) integrieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Wie kann man denn einen Koeffizientenvergleich mit 1
> machen? Ich hab das nun so gemacht:
>
> [mm]0u^2+0u+1=(A+B)u^2+Cu+A[/mm]
> A=1
> B=-1
> C=0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ist in Ordnung so
> Dann hab ich:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{1/u - u/(u+1) dx}[/mm]
wir hatten doch: [mm] \bruch{A}{u}+\bruch{Bu+C}{u^2+1} [/mm] und wenn du nun A=1; B=-1 und C=0 einsetzt, dann sieht dein Integral so aus:
[mm] \integral_a^b{\left(\bruch{1}{u}-\bruch{u}{u^2+1}\right)\ du}=\integral_a^b{\bruch{1}{u}\ du}-\integral_a^b{\bruch{u}{u^2+1}\ du}=\integral_a^b{\bruch{1}{u}\ du}-\bruch{1}{\red{2}}\integral_a^b{\bruch{\red{2}u}{u^2+1}\ du}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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Und für das letzte Integral wieder Partialbruchzerlegung? In der Formelsammlung finde ich irgendwie nichts.
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> Und für das letzte Integral wieder Partialbruchzerlegung?
> In der Formelsammlung finde ich irgendwie nichts.
Nein, für das letzte Integral ist Substitution $v := [mm] u^2+1$ [/mm] angesagt:
[mm]\tfrac{1}{2}\cdot\integral_a^b\frac{2u}{u^2+1}\, du=\tfrac{1}{2}\cdot\integral_{a^2+1}^{b^2+1}\frac{1}{v}\,dv=\tfrac{1}{2}\cdot\ln(u^2+1)\Big|_{u=a}^b[/mm]
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Also darf man zweimal substituiren, weil vorher hab ich das ja schon getan?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Also darf man zweimal substituiren, weil vorher hab ich das
> ja schon getan?
damit änderst du ja den Wert des Integrals nicht. Ein paar Integrationsregeln findest du auch in unserer Mathebank:  Integrationsregeln
Eine Anwendung hattest du übrigens (wahrscheinlich ohne es zu bedenken) gemacht:
[mm] \integral{\bruch{1}{u}\ du}=ln|u|+C
[/mm]
nach dem Prinzip
[mm] \integral{\bruch{f'(u)}{f(u)}\ du}=ln|f(u)|+C
[/mm]
mit
f(u)=u und f'(u)=1
Jetzt schau dir noch einmal das zweite Integral an, dann weißt du auch, warum ich dort den Faktor [mm] \red{2} [/mm] mit eingeschummelt hatte.
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:35 Do 18.09.2008 | | Autor: | Influ3nza |
ah hrftig, das ist ja praktisch vielen dank!
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hier![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
