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| Aufgabe | Sei [mm] C:=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}\le 16, 0\le z \le 1\}
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \integral_{C}{e^{-z}dxyz} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe bald prüfung und bin heute auf die obige aufgabe aus einem alten Prüfungsprotokoll gestoßen.da ich letztes jahr diesen teil in analysis 2 verpasst hab,bin ich jetzt ein bißchen aufgeschmissen.obwohl ich glaube,dass das garnicht mal so schwer ist.
ich hoffe ihr könnt mir helfen.
viele grüße
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> Sei [mm]C:=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}\le 16, 0\le z \le 1\}[/mm]
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> Berechnen Sie [mm]\integral_{C}{e^{-z}dxyz}[/mm]
> Hallo zusammen,
> ich habe bald prüfung und bin heute auf die obige aufgabe
> aus einem alten Prüfungsprotokoll gestoßen.da ich letztes
> jahr diesen teil in analysis 2 verpasst hab,bin ich jetzt
> ein bißchen aufgeschmissen.obwohl ich glaube,dass das
> garnicht mal so schwer ist.
> ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Scheint mir eine Trickfrage zu sein: denn der Integrand [mm] $e^{-z}$ [/mm] hängt von $x$ und $y$ gar nicht ab. $C$ ist ein gerader Kreiszylinder mit Radius $r=4$, also hat dessen Querschnittsfläche den Wert [mm] $\pi r^2=16\pi$. [/mm] Somit kann man sich die Sache leicht machen, denn für konstantes [mm] $z\in [/mm] [0;1]$ ergibt das Doppelintegral über die Querschnittssfläche des Zylinders $C$ stets [mm] $16\pi$:
[/mm]
[mm]\integral_{C}{e^{-z}dxyz}=\integral_0^1 16\pi e^{-z}\; dz=16\pi \cdot\Big[-e^{-z}\Big]_{z=0}^1=16\pi\cdot \big(-e^{-1}-(-e^{-0})\big)=16(1-e^{-1})\pi[/mm]
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