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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mo 05.05.2008 | | Autor: | patsch |
| Aufgabe | Gegeben sei in einem kartesischen Koordinatensystem die Men-
ge C aller Punkte, die der Gleichung
[mm] 9y^2-x(x-3)^2=0 [/mm] und [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le3
[/mm]
genügen.
a) Skizzieren Sie die Kurve C.
b) Welchen Flächeninhalt hat das von C umschlossene Flächenstück ?
c) Welche Länge hat die Kurve C ?
d) Welches Volumen hat der Rotationskörper, der bei Rotation um die x-
Achse entsteht ?
e) Welches Volumen hat der Rotationskörper, der bei Rotation um die y-
Achse entsteht ? |
a)
Hier habe ich nach a umgestellt und eine Wertetabelle berechnet, somit habe ich für y positive und negetive Werte herausbekommen.
[mm] y=\bruch{1}{3}*\wurzel{x*(x-3)^2}
[/mm]
b)
Hier würde ich die nach y umgestellte Funktion mit Hilfe der Substitutionsregel integrieren. Wie lässt sich die Funktion am besten Sustituieren?
c) Zur Lösung dieser Aufgabe würde ich diese Formel verwenden [mm] L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(f'(x)^2)} dx}
[/mm]
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Hallo patsch,
> Gegeben sei in einem kartesischen Koordinatensystem die
> Men-
> ge C aller Punkte, die der Gleichung
> [mm]9y^2-x(x-3)^2=0[/mm] und [mm]0\le[/mm] x [mm]\le3[/mm]
> genügen.
> a) Skizzieren Sie die Kurve C.
> b) Welchen Flächeninhalt hat das von C umschlossene
> Flächenstück ?
> c) Welche Länge hat die Kurve C ?
> d) Welches Volumen hat der Rotationskörper, der bei
> Rotation um die x-
> Achse entsteht ?
> e) Welches Volumen hat der Rotationskörper, der bei
> Rotation um die y-
> Achse entsteht ?
> a)
> Hier habe ich nach [mm] \red{y} [/mm] umgestellt und eine Wertetabelle
> berechnet, somit habe ich für y positive und negetive Werte
> herausbekommen.
>
> [mm]y=\red{\pm}\bruch{1}{3}*\wurzel{x*(x-3)^2}[/mm]
>
> b)
> Hier würde ich die nach y umgestellte Funktion mit Hilfe
> der Substitutionsregel integrieren. Wie lässt sich die
> Funktion am besten Sustituieren?
Ich würde nicht substituieren, das kannst du elementar integrieren:
Nehmen wir den positiven Ast von y und schreiben ihn ein wenig um:
[mm] $y=\frac{1}{3}\sqrt{x(x-3)^2}=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}}|x-3|=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}}(3-x)$ [/mm] da [mm] $0\le x\le [/mm] 3$
[mm] $=x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}$
[/mm]
Also [mm] $\int{\left(\frac{1}{3}\sqrt{x(x-3)^2}\right) \ dx}=\int{x^{\frac{1}{2}} \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \frac{1}{3}\int{x^{\frac{3}{2}} \ dx}$
[/mm]
Und die entsprechenden Grenzen ...
Bedenke auch, dass du ja auch noch einen negativen Ast hast, zeichne dir y mal auf oder lass es dir zeichnen, zb. mit Funkyplot, ![[]](/images/popup.gif) hier
Du hast den obigen Flächeninhalt also 2mal, einmal oberhalb, einmal unterhalb der x-Achse
> c) Zur Lösung dieser Aufgabe würde ich diese Formel
> verwenden [mm]L=\integral_{a}^{b}{\wurzel{1+(f'(x)^2)} dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gute Idee 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 05.05.2008 | | Autor: | patsch |
Danke erstmal für die Antwort.
c) Hier muss ich auch zweimal die Länge L nehmen
d) Bei der Volumenberechnung muss aber nicht das doppelte Volumen nehmen?
mfg patsch
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Hallo nochmal,
> Danke erstmal für die Antwort.
>
> c) Hier muss ich auch zweimal die Länge L nehmen
Ja, die Kurve ist symmetrisch zur x-Achse und läuft genau bei x=0 und x=3 zusammen
>
> d) Bei der Volumenberechnung muss aber nicht das doppelte
> Volumen nehmen?
Genau, einfach reicht. Der Rotationskörper ist fast ein Ellipsoid, sieht aus wie ein Fisch oder Wal ohne Schwanzflosse
>
> mfg patsch
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Di 06.05.2008 | | Autor: | patsch |
zu c)
[mm] L=2\integral_{0}^{3}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{x^2+1}{4x}} dx}
[/mm]
Da die Integration dieser Funktion ziemlich kompliziert ist, wollte ich die Simpsonregel verwenden.
[mm] L=2(\bruch{b-a}{6} (f(a)+4f(\bruch{a+b}{2})+f(b)))
[/mm]
Jedoch geht ja der y-Wert für a=0 gegen unendlich und für b=3 müsste man eine negative Wurzel ziehen. Also geht der y-Wert für x=3 auch gegen uendlich, glaube ich.
Wie kann ich dieses Problem lösen?
zu e)
Muss ich bei der Rotation um die y-Achse die Funktion nach x Umstellen?
Wie mache ich das?
Muss ich hierbei nur das Intervall von [mm] 0\lex\le1 [/mm] berechnen, da bei x=1 ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist?
Ich würde diese Formel verwenden [mm] V=2\integral_{0}^{1}{{x^2} dy}
[/mm]
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Hallo patsch,
> zu e)
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> Muss ich bei der Rotation um die y-Achse die Funktion nach
> x Umstellen?
> Wie mache ich das?
> Muss ich hierbei nur das Intervall von [mm]0\lex\le1[/mm]
> berechnen, da bei x=1 ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist?
> Ich würde diese Formel verwenden
> [mm]V=2\integral_{0}^{1}{{x^2} dy}[/mm]
>
Eine Auflösung nach x ist hier schwer möglich.
Verwende statt dessen:
[mm]V=\pi\integral_{y_{0}}^{y_{1}}{x^{2} \ dy}=V=\pi\integral_{x_{0}}^{x_{1}}{x^{2} y' \ dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo patsch,
> zu c)
>
> [mm]L=2\integral_{0}^{3}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{x^2+1}{4x}} dx}[/mm]
>
> Da die Integration dieser Funktion ziemlich kompliziert
> ist, wollte ich die Simpsonregel verwenden.
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> [mm]L=2(\bruch{b-a}{6} (f(a)+4f(\bruch{a+b}{2})+f(b)))[/mm]
>
> Jedoch geht ja der y-Wert für a=0 gegen unendlich und für
> b=3 müsste man eine negative Wurzel ziehen. Also geht der
> y-Wert für x=3 auch gegen uendlich, glaube ich.
> Wie kann ich dieses Problem lösen?
Gruß
MathePower
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