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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 Do 17.04.2008 | | Autor: | Hennich |
| Aufgabe | Normieren Sie die Wellenfunktion
[mm] f(x)=e^{-\gamma*x^{2}} [/mm] (a) [mm] x\in[0,\infty] [/mm] (b) [mm] x\in[-\infty,\infty]
[/mm]
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Folgendes Integral gilt es also in (a) zu lösen:
[mm] N^{2}\integral_{0}^{\infty}{(e^{-\gamma*x^{2}})^{2} dx} [/mm]
was ja das gleiche ist wie:
[mm] N^{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*x^{2}} dx} [/mm] ,Korrekt?
Unser Prof hat uns zwar einige Integrale:
[mm] 1.\integral_{0}^{\infty}{e^{-a^{2}*x^{2}} dx} [/mm]
[mm] 2.\integral_{0}^{\infty}{x^{2}*e^{-a^{2}*x^{2}} dx} [/mm]
[mm] 3.\integral_{}^{}{x*e^{a*x} dx}
[/mm]
[mm] 4.\integral_{}^{}{x^{2}*e^{a*x} dx}
[/mm]
[mm] 5.\integral_{}^{}{x*e^{-a^{2}*x^{2}} dx}
[/mm]
mit deren Stammfunktion angegeben, nur helfen mir die irgendwie nicht bei meinem Problem weiter, oder?
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Hallo Hennich,
> Normieren Sie die Wellenfunktion
>
> [mm]f(x)=e^{-\gamma*x^{2}}[/mm] (a) [mm]x\in[0,\infty][/mm] (b)
> [mm]x\in[-\infty,\infty][/mm]
>
> Folgendes Integral gilt es also in (a) zu lösen:
>
> [mm]N^{2}\integral_{0}^{\infty}{(e^{-\gamma*x^{2}})^{2} dx}[/mm]
>
> was ja das gleiche ist wie:
>
> [mm]N^{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*x^{2}} dx}[/mm]
> ,Korrekt?
So isses.
>
> Unser Prof hat uns zwar einige Integrale:
>
> [mm]1.\integral_{0}^{\infty}{e^{-a^{2}*x^{2}} dx}[/mm]
> [mm]2.\integral_{0}^{\infty}{x^{2}*e^{-a^{2}*x^{2}} dx}[/mm]
Betrachte hier das Integral
[mm]\left(\integral_{0}^{\infty}{x^{2}*e^{-a^{2}*x^{2}} dx}\right)^{2}= \integral_{0}^{\infty}{x^{2}*e^{-a^{2}*x^{2}} dx} * \integral_{0}^{\infty}{y^{2}*e^{-a^{2}*y^{2} } \ dy}=\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{x^{2}*y^{2}*e^{-a^{2}*\left(x^{2}+y^{2} \right)} \ dy} \ dx}[/mm]
mit der Substitutiton
[mm]x=r*\cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y=r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Das Integral unter 1. ist auch genau so auf diese Art zu lösen.
> [mm]3.\integral_{}^{}{x*e^{a*x} dx}[/mm]
>
> [mm]4.\integral_{}^{}{x^{2}*e^{a*x} dx}[/mm]
>
> [mm]5.\integral_{}^{}{x*e^{-a^{2}*x^{2}} dx}[/mm]
Diese Integrale sind mit den gängigen
Substitutions- bzw Integrationsmethoden zu lösen.
>
> mit deren Stammfunktion angegeben, nur helfen mir die
> irgendwie nicht bei meinem Problem weiter, oder?
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Do 17.04.2008 | | Autor: | Hennich |
Ich werde überhaupt nicht schlau aus deiner Antwort.
Mein Prof hat uns doch schon die Lösungen für die Integrale (1.-5.) angegeben.
Ich will mich doch nur an der Lösung für das Integral:
[mm] N^{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*x^{2}} dx}
[/mm]
versuchen
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Hallo Hennich,
> Ich werde überhaupt nicht schlau aus deiner Antwort.
>
> Mein Prof hat uns doch schon die Lösungen für die Integrale
> (1.-5.) angegeben.
>
> Ich will mich doch nur an der Lösung für das Integral:
>
> [mm]N^{2}\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*x^{2}} dx}[/mm]
>
> versuchen
Dazu betrachtest Du das Integral:
[mm] \left(N^{2}*\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*x^{2}} dx}\right)^{2}= N^{4}*\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*x^{2}} dx} \cdot{} \integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*y^{2} } \ dy}=N^{4}*\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*\left(x^{2}+y^{2} \right)} \ dy} \ dx} [/mm]
mit der Substitution
[mm]x=r*cos\left(\varphi\right)[/mm]
[mm]y=r*sin\left(\varphi\right)[/mm]
Dann wird daraus
[mm]N^{4}*\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-2*\gamma*\left(x^{2}+y^{2} \right)} \ dy} \ dx}=N^{4}*\integral_{0}^{\infty}{\integral_{0}^{2*\pi}r*{e^{-2*\gamma*r^{2} } \ dr} \ d\varphi}[/mm]
Dieses ist nun leichter auszuwerten als das gegebene.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 17.04.2008 | | Autor: | Hennich |
Vielen Dank für deine Umformungen....
Um das Integral zu vereinfachen würde ich eine Substitution mit:
[mm] u=-2*\gamma*r^{2}
[/mm]
vorschlagen.
Das Integral wird zu:
[mm] \integral_{}^{}{r*e^{u}*\bruch{du}{-4r\gamma}}
[/mm]
"r" kürzt sich raus und es folgt:
[mm] \bruch{1}{4\gamma}\integral_{}^{}{e^{u} du}
[/mm]
-???bis hier korrekt???-
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Hallo Hennich,
> Vielen Dank für deine Umformungen....
>
> Um das Integral zu vereinfachen würde ich eine Substitution
> mit:
>
> [mm]u=-2*\gamma*r^{2}[/mm]
>
> vorschlagen.
>
> Das Integral wird zu:
>
> [mm]\integral_{}^{}{r*e^{u}*\bruch{du}{-4r\gamma}}[/mm]
>
> "r" kürzt sich raus und es folgt:
>
> [mm]\bruch{1}{4\gamma}\integral_{}^{}{e^{u} du}[/mm]
>
> -???bis hier korrekt???-
[mm]\red{-}\bruch{1}{4\gamma}\integral_{}^{}{e^{u} du}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 17.04.2008 | | Autor: | Hennich |
Nach der Rüchsubstitution und dem Einsetzen der Grenzen erhalte ich:
[mm] -\bruch{1}{4\gamma}*e^{-8\gamma\pi^{2}}-1
[/mm]
und das zu lösende Integral:
[mm] -\bruch{1}{4}-1\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\gamma}*e^{-8\gamma\pi^{2}} d\gamma}
[/mm]
Jetzt wieder die Substitution mit [mm] u=-8\gamma\pi^{2}dx
[/mm]
Das Integral wird zu:
[mm] -\bruch{1}{8\pi^{2}}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\gamma}*e^{u}}d\gamma
[/mm]
Jetzt bleib ich aber stecken... war die Substitution der richtige Weg?
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Hallo Hennich,
> Nach der Rüchsubstitution und dem Einsetzen der Grenzen
> erhalte ich:
>
> [mm]-\bruch{1}{4\gamma}*e^{-8\gamma\pi^{2}}-1[/mm]
>
> und das zu lösende Integral:
>
> [mm]-\bruch{1}{4}-1\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\gamma}*e^{-8\gamma\pi^{2}} d\gamma}[/mm]
>
> Jetzt wieder die Substitution mit [mm]u=-8\gamma\pi^{2}dx[/mm]
>
> Das Integral wird zu:
>
> [mm]-\bruch{1}{8\pi^{2}}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\gamma}*e^{u}}d\gamma[/mm]
>
> Jetzt bleib ich aber stecken... war die Substitution der
> richtige Weg?
Ja.
Wir wollen das Integral [mm]\integral_{0}^{\infty}{r*e^{-2*\gamma*r^{2}} \ dr}[/mm] berechnen.
Die Substitution [mm]u=-2*\gamma*r^{2}[/mm] führt auch zu neuen Integrationsgrenzen:
[mm]r=0 \Rightarrow -2*\gamma*r^{2}=0=u[/mm]
[mm]r\to\infty \Rightarrow -2*\gamma*r^{2}\to -\infty \Rightarrow u \to -\infty[/mm]
[mm]\integral_{0}^{\infty}{r*e^{-2*\gamma*r^{2}} \ dr}=-\bruch{1}{4*\gamma}*\integral_{0}^{-\infty}{e^{u} \ du}=\left[-\bruch{1}{4*\gamma}*e^{u}\right]_{0}^{-\infty}[/mm]
Streng genommen muß man rechnen:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{r*e^{-2*\gamma*r^{2}} \ dr}=-\bruch{1}{4*\gamma}*\integral_{0}^{-\infty}{e^{u} \ du}=\limes_{s\rightarrow -\infty}\left[-\bruch{1}{4*\gamma}*e^{u}\right]_{0}^{s}[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
beachte bitte meine Meldung "steiniger Weg ?" an Hennich !
Gruss al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Hennich |
Ich verliere son bischen den roten Faden.
Mit meinem Integral:
[mm] -\bruch{1}{4\gamma}\integral_{}^{}{e^{u} du}
[/mm]
kann ich also nicht weiterarbeiten?!
Einige Mitteilungen zuvor hast du für mich umgeformt zu:
[mm] N^{4}\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-2*\gamma\*r^{2}}drd...}
[/mm]
So, jetzt komm ich mit meiner Sustitution um die Ecke:
[mm] u=-2*\gamma*r^{2} [/mm] , [mm] \bruch{du}{dr}=-4\gamma*r [/mm] , [mm] dr=\bruch{du}{-4\gamma*r}
[/mm]
Das Integral wird zu:
[mm] N^{4}\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{?}{r*e^{u}\bruch{du}{-4\gamma*r}d...}
[/mm]
"r" kürzt sich heraus.
Du bist jetzt von den Grenzen (0, [mm] \infty) [/mm] ausgegangen, die du im Anschluss ja auch umgeformt hast.
Aber eigentlich sind doch die Grenzen [mm] (0,2\pi) [/mm] umzuformen, oder?
[mm] N^{4}\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{?}{\bruch{1}{-4\gamma}*e^{u}dud...}
[/mm]
Inwiefern kann ich jetzt diesen Faktor [mm] {\bruch{1}{-4\gamma}} [/mm] vor das Interal ziehen. Geht das überhaupt?
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Hallo Hennich,
> Ich verliere son bischen den roten Faden.
>
> Mit meinem Integral:
>
> [mm]-\bruch{1}{4\gamma}\integral_{}^{}{e^{u} du}[/mm]
>
> kann ich also nicht weiterarbeiten?!
Doch, musst nur die Grenzwertebetrachtung durchführen.
>
> Einige Mitteilungen zuvor hast du für mich umgeformt zu:
>
> [mm]N^{4}\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-2*\gamma\*r^{2}}drd...}[/mm]
>
> So, jetzt komm ich mit meiner Sustitution um die Ecke:
>
> [mm]u=-2*\gamma*r^{2}[/mm] , [mm]\bruch{du}{dr}=-4\gamma*r[/mm] ,
> [mm]dr=\bruch{du}{-4\gamma*r}[/mm]
>
> Das Integral wird zu:
>
> [mm]N^{4}\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{?}{r*e^{u}\bruch{du}{-4\gamma*r}d...}[/mm]
[mm]N^{4}\integral_{0}^{\red{-}\infty}\integral_{0}^{?}{r*e^{u}\bruch{du}{-4\gamma*r}d...}[/mm]
>
> "r" kürzt sich heraus.
>
> Du bist jetzt von den Grenzen (0, [mm]\infty)[/mm] ausgegangen, die
> du im Anschluss ja auch umgeformt hast.
> Aber eigentlich sind doch die Grenzen [mm](0,2\pi)[/mm] umzuformen,
> oder?
>
Nein, weil keine Abhängigkeit von [mm]\varphi[/mm] vorhanden ist.
> [mm]N^{4}\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{?}{\bruch{1}{-4\gamma}*e^{u}dud...}[/mm]
>
> Inwiefern kann ich jetzt diesen Faktor
> [mm]{\bruch{1}{-4\gamma}}[/mm] vor das Interal ziehen. Geht das
> überhaupt?
>
Den kannst Du vor das Integral ziehen, da dieser Faktor als eine Konstante zu behandeln ist.
Gruß
MathePower
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Hallo,
ich meine, dass man durchaus auf die gelieferten Stammfunktionen zurückgreifen kann, ohne die ganzen Integrationsmethoden durchzunehmen:
Das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{- 2 \gamma x^2} dx}
[/mm]
kannst du, falls [mm]\gamma \ge 0 [/mm] , sofort mit der gegebenen Formel (1.) identifizieren.
Es gilt dann einfach [mm]2\ \gamma = \ a^2 [/mm] bzw. [mm]a = \wurzel{2\ \gamma}[/mm]
[mm]\gamma \ge 0 [/mm] war doch vorausgesetzt, oder ? (Druckfehler in Aufgabenstellung?)
Gruss al-Chwarazmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Do 17.04.2008 | | Autor: | Hennich |
Also die Aufgabenstellung lautet genau so, wie ich sie abgetippt habe.
Ich frag mich aber natürlich schon warum wir gleich 5 Stammintegrale angegeben bekommen und keines zu dieser Aufgabe passt...
Ich werde das definitiv nachfragen.
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> Also die Aufgabenstellung lautet genau so, wie ich sie
> abgetippt habe.
Ich sehe in der Aufgabe die zwei widersprüchlichen Angaben
(a) x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty [/mm] ] und (b) x [mm] \in [-\infty, \infty)
[/mm]
Vielleicht war aber zum Beispiel (a) [mm] \gamma \in [/mm] [0, [mm] \infty [/mm] ] ?
> Ich frag mich aber natürlich schon warum wir gleich 5
> Stammintegrale angegeben bekommen und keines zu dieser
> Aufgabe passt...
Ich denke eben, dass schon die erste Formel allein genügt, jedenfalls wenn man [mm] \gamma \ge [/mm] 0 voraussetzen darf.
Die übrigen Formeln sind möglicherweise für andere Aufgaben hilfreich, oder man wollte euch nicht direkt auf die Nase binden, welche Formel wirklich in Frage kommt.
Ich denke, mein vorheriger Tipp mit a = [mm] \wurzel{2\ \gamma} [/mm] sollte im übrigen weiter helfen, sonst frage nochmals!
Schönen Abend al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 17.04.2008 | | Autor: | Hennich |
Das ist natürlich klasse, dass sich direkt zwei Matheasse um mich bemühen.
Herzlichen Dank bis hierhin.
Deine Vorgehensweise ist natürlich längst nicht so steinig wie die von "MathePower" und wird deshalb von mir favorisiert...
Ich verstehe nur nicht wie man
[mm] a^{2}=2\gamma [/mm]
mit deiner Annahme setzen kann?
Bis morgen
Hennich
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Ganz simpel: Wenn [mm] \gamma [/mm] positiv (oder 0) ist, gibt es ein reelles a (man kann das positive wählen), für welches [mm] a^2 [/mm] = [mm] \gamma [/mm] ist.
(Negatives [mm] \gamma [/mm] kommt wohl eh nicht in Frage, weil dann das Integral hoffnungslos divergiert)
Und übrigens: der andere Weg, den dir MathePower vorschlägt, ist zwar gewissermassen etwas "steinig" , wie du dich ausdrückst, aber er bringt dir auch mehr Einsicht in die Theorie, die hinter diesen wichtigen Integralen (Gauss-Integral, zentral wichtig für die Statistik !) steckt. Wenn du also einmal wirklich Zeit hast, ist es durchaus lohnend, sich mit diesen Überlegungen eingehend zu beschäftigen.
Ich bin einfach von einem pragmatischeren Standpunkt ausgegangen: wenn euer Prof euch eine Liste von pfannenfertigen bestimmten Integralen geliefert hat und ihr die verwenden könnt, dann ist das für den Moment in Ordnung. Jeder, der etwas tiefer schürfen will, fragt sich natürlich, ob diese Ergebnisse einfach vom Himmel gefallen sind ..... oder ob man sie vielleicht auch als gewöhnlicher Mensch verstehen kann. Meine Antwort dazu: Man kann, aber der Weg dazu ist halt wirklich ein bisschen "steinig" - aber am Ende doch lohnend.
Gruss (auch an MathePower !) al-Chwarizmi
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