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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Fr 24.08.2007 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
ich bin was integrieren angeht ziemlich schwach und habe deshalb einige Probleme, Aufgaben mit mehrdimensionalen stetigen Zufallsvariablen zu verstehen. Zum Beispiel wird nach der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X > Y+1 gefragt. Sagen wir f(x,y) ist die gemeinsame Dichte, die für X,Y kleiner Null Null ist. In der Lösung steht dann
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\integral_{x-1}^{\infty}{f(x,y) dx dy} }
[/mm]
Ich verstehe nicht warum das innere Integral von x-1 bis Unendlich geht, bedeutet dass nicht dass ich das Ereignis Y+1 > X betrachte??
Für ein bißchen Integral Nachhilfe wäre ich sehr dankbar.
cantor
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> Hallo zusammen,
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> ich bin was integrieren angeht ziemlich schwach und habe
> deshalb einige Probleme, Aufgaben mit mehrdimensionalen
> stetigen Zufallsvariablen zu verstehen. Zum Beispiel wird
> nach der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X > Y+1
> gefragt. Sagen wir f(x,y) ist die gemeinsame Dichte, die
> für X,Y kleiner Null Null ist. In der Lösung steht dann
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\integral_{x-1}^{\infty}{f(x,y) dx dy} }[/mm]
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> Ich verstehe nicht warum das innere Integral von x-1 bis
> Unendlich geht, bedeutet dass nicht dass ich das Ereignis
> Y+1 > X betrachte??
Ich bin auch der Ansicht, dass das obige Doppelintegral Müll ist. Es ist z.B. überhaupt nicht einzusehen, weshalb das äussere Integral $1$ als untere Grenze haben soll (statt [mm] $-\infty$). [/mm] Zudem ist es gar nicht möglich, dass die untere Grenze $x-1$ des inneren Integrals die Integrationsvariable $x$ des inneren Integrals enthält: die kann allenfalls $y$ enthalten (d.h. die Integrationsvariable des äusseren Integrals).
Meiner Meinung nach hast Du zwei Möglichkeiten, das Doppelintegral für die Berechnung von [mm] $\mathrm{P}(X>Y+1)$ [/mm] aufzustellen:
1. Möglichkeit: Du wählst als Integrationsvariable für das äussere Integral $x$. Dann kann $x$ noch frei variieren, d.h. von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $+\infty$. [/mm] Ist $x$ aus diesem Bereich durch das äussere Integral gewählt, so kann $y$, weil ja $x>y+1$ d.h. äquivalent $x-1>y$ gelten soll, nur noch von [mm] $-\infty$ [/mm] bis $x-1$ variieren. Insgesamt erhält man also
[mm]\mathrm{P}(X>Y+1)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{x-1}f(x,y)\; dy\; dx[/mm]
2. Möglichkeit: Du wählst als Integrationsvariable für das äussere Integral $y$. Dann kann $y$ noch frei von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $+\infty$ [/mm] variieren. Ist $y$ vom äusseren Integral gewählt, so kann $x$, weil $x>y+1$ gelten soll, nur noch von $y+1$ bis [mm] $+\infty$ [/mm] variieren. Insgesamt erhält man also
[mm]\mathrm{P}(X>Y+1)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{y+1}^{+\infty}f(x,y)\; dx\; dy[/mm]
Nachtrag (2. Revision): Erst nachträglich merke ich, dass Du ja geschrieben hast, dass $f(x,y)=0$ für $x<0$ oder $y<0$.
In diesem Falle überlegt man, meiner Meinung nach, bei der 1. Möglichkeit so: aus $x>y+1$ und [mm] $y\geq [/mm] 0$ (für $f(x,y)>0$) folgt $x>1$. Also hat das äussere Integral (in der Tat) die untere Grenze $1$. Ist $x>1$ von äusseren Integral gewählt, so folgt aus [mm] $y\geq [/mm] 0$ und $x-1> y$, dass $y$ nur noch zwischen $0$ und $x-1$ variieren kann. Damit erhält man:
[mm]\mathrm{P}(X>Y+1)=\int_1^{+\infty}\int_0^{x-1}f(x,y)\; dy\; dx[/mm]
Bei der 2. Möglichkeit kann $y$ (für $f(x,y)>0$) noch von $0$ bis [mm] $+\infty$ [/mm] variieren. Ist $y$ vom äusseren Integral in diesem Bereich gewählt, so folgt aus $x>y+1$, dass $x$ noch von $y+1$ bis [mm] $+\infty$ [/mm] variieren kann. Damit erhält man:
[mm]\mathrm{P}(X>Y+1)=\int_0^{+\infty}\int_{y+1}^\infty f(x,y)\; dx\; dy[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 So 26.08.2007 | | Autor: | cantor |
das ist einleuchtend, danke!
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