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| Aufgabe | Berechnen sie die Integrale:
a) [mm] \integral [/mm] x*cos [mm] x²*e^{sinx2} [/mm] dx
b) [mm] \integral [/mm] x² *sinx dx
c) [mm] \integral x^{n}*lnx [/mm] dx
d) [mm] \integral x^{n}*sin(x^{n+1}) [/mm] dx |
Zu a)
Dort wird man wohl substituieren müssen:
[mm]t=sinx²[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx}=2*sinx*cosx[/mm]
[mm]dx= \bruch{dt}{2*sinx*cosx}[/mm]
[mm]=\integral x*cos x²*e^{t}*\bruch{dt}{2*sinx*cosx}[/mm]
[mm]=1/2\integrale^{sint}[/mm]
[mm]=1/2*e^{t}[/mm]
[mm]=1/2*e^{sinx²} +c[/mm]
Zu b)
Partielle Integration anwenden
[mm]\integral x² *sinx=cosx*x² - \integral cosx *2x dx[/mm]
Normalerweise kürzt sich das integral ja schön zusammen, was mache ich in diesem Fall?
zu c)
wieder partielle integration
[mm]\integral x^{n}*lnx= \bruch{1}{n+1}*x^{n+1}*lnx - \integral \bruch{1}{n+1}*x^{n+1} * \bruch{1}{x} dx=? [/mm]
Das selbe Problem wie oben, wie kürze ich jetzt?!
Zu d)
Bei der Aufgabe steh ich aufm Schlauch, muss man dort [mm] x^{n} [/mm] subst. oder partielle integrieren?
Das waren die letzten Fragen in diesem Jahr - versprochen :)
Danke wie immer für jeden hilfreichen Tipp !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> Zu a)
> Dort wird man wohl substituieren müssen:
> [mm]t=sinx²[/mm]
> [mm]\bruch{dt}{dx}=2*sinx*cosx[/mm]
Da hast Du wohl etwas fehlinterpretiert. Die Substitution $t \ := \ [mm] \sin\left(x^2\right)$ [/mm] ist richtig.
Aber das Quadrat bezieht sich auf das $x_$ , also auf das Sinusargument.
Damit wird: $t' \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \cos\left(x^2\right)*2x$
[/mm]
> Zu b)
> Partielle Integration anwenden
> [mm]\integral x² *sinx=cosx*x² - \integral cosx *2x dx[/mm]
>
> Normalerweise kürzt sich das integral ja schön zusammen,
> was mache ich in diesem Fall?
Zunächst hast Du zwei Minuszeichen vergessen. Schließlich gilt: [mm] $\integral{\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\cos(x)$
[/mm]
Und dann musst Du auf das hintere Integral nochmals partielle Integration anwenden:
[mm] $\integral{x^2*\sin(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\cos(x)*x^2 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] 2*\integral{x*\cos(x) \ dx}$
[/mm]
> zu c)
> wieder partielle integration
> [mm]\integral x^{n}*lnx= \bruch{1}{n+1}*x^{n+1}*lnx - \integral \bruch{1}{n+1}*x^{n+1} * \bruch{1}{x} dx=?[/mm]
>
> Das selbe Problem wie oben, wie kürze ich jetzt?!
Du kannst den Faktor [mm] $\bruch{1}{n+1}$ [/mm] vor das Integral ziehen.
Und die beiden restlichen Ausdrücke kannst Du per  Potenzgesetz zusammenfassen:
[mm] $x^{n+1}*\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{n+1}*x^{-1} [/mm] \ = \ ...$
> Zu d)
> Bei der Aufgabe steh ich aufm Schlauch, muss man dort
> [mm]x^{n}[/mm] subst. oder partielle integrieren?
Die hier erforderliche Substitution lautet: $t \ := \ [mm] x^{n+1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Danke!
Zu a)
[mm]\integral x*cos(x²) *e^{t}* \bruch{dt}{cos(x²)*2x}= \bruch{1}{2} \integral e^{t} dt= \bruch{1}{2}*e^{t} +c= \bruch{1}{2}e^{sin(x²)}+c[/mm]
Zu b)
[mm]\integral x²*sin(x) dx=-cos(x)*x²+2 \integral x*cosx dx[/mm]
[mm]=-cos(x)*x²+2x *sinx +c[/mm]
Wieso bekommt die 2 ein pos. Vorzeichen wenn man sie vor das Integral zieht?
Zu c)
[mm]\integral x^{n}*lnx=\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}*lnx - \integral \bruch{1}{n+1} *x^{n+1}*\bruch{1}{x} dx[/mm]
[mm]\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}*lnx - \bruch{1}{n+1} \integral x^{n+1}*\bruch{1}{x} dx[/mm]
[mm]\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}*lnx - \bruch{1}{n+1} \integral x^{n} dx[/mm]
[mm]\bruch{1}{n+1}*x^{n+1}*lnx - (\bruch{1}{n+1} * \bruch{1}{n+1}x^{n+1}) [/mm]
Hm ?!
Zu d)
[mm]t=x^{n+1} -> dt/dx= \bruch{1}{n+1}*x^{n}[/mm]
[mm]\integral x^{n}*sinx^{n+1}* \bruch{dt}{1/n+1 *x^{n}}[/mm]
[mm] \bruch{1}{n+1} \integral sint dt[/mm]
[mm] \bruch{1}{n+1}(-cost) +c[/mm]
[mm]\bruch{1}{n+1}(-cosx^{n+1}) +c[/mm]
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Nochmal zu d)
Hab ich wohl kurz was mit der Integrationsregel durcheinander gebracht, aber an sich nimmt sich der Fehler nicht viel bezüglich des ergebnisses
[mm]t=x^{n+1} -> dt/dx= (n+1)*x^{n}[/mm]
[mm]\integral x^{n}*sinx^{t}* \bruch{dt}{n+1 *x^{n}}[/mm]
[mm] \bruch{1}{n+1} \integral sint dt[/mm]
[mm] \bruch{1}{n+1}(-cost) +c[/mm]
[mm]\bruch{1}{n+1}(-cosx^{n+1}) +c[/mm]
Zu b)
[mm]\integral x²*sin(x)dx=(-cosx)*x² +2 \integral x*cosx[/mm]
[mm]\integral{x\cdot{}\cos(x) \ dx} \ = \ x\cdot{}\sin(x)-\integral{1\cdot{}\sin(x) \ dx}[/mm]
[mm]\integral x *cos(x) dx= x*sin(x)+cos(x)[/mm]
[mm] =>\integral x²*sin(x) dx=(-cosx)*x²+2(x*sin(x)+cos(x))[/mm]
Bin langsam ziemlich verwirrt bei der Aufgabe, ich hoffe jetz stimmt es einigermaßen.
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> Nochmal zu d)
>
> Hab ich wohl kurz was mit der Integrationsregel
> durcheinander gebracht, aber an sich nimmt sich der Fehler
> nicht viel bezüglich des ergebnisses
>
> [mm]t=x^{n+1} -> dt/dx= (n+1)*x^{n}[/mm]
> [mm]\integral x^{n}*sinx^{t}* \bruch{dt}{n+1 *x^{n}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n+1} \integral sint dt[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n+1}(-cost) +c[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n+1}(-cosx^{n+1}) +c[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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>
> Zu b)
>
> [mm]\integral x²*sin(x)dx=(-cosx)*x² +2 \integral x*cosx[/mm]
>
> [mm]\integral{x\cdot{}\cos(x) \ dx} \ = \ x\cdot{}\sin(x)-\integral{1\cdot{}\sin(x) \ dx}[/mm]
>
> [mm]\integral x *cos(x) dx= x*sin(x)+cos(x)[/mm]
> [mm]=>\integral x²*sin(x) dx=(-cosx)*x²+2(x*sin(x)+cos(x))[/mm]
Sieht auch gut aus!
>
> Bin langsam ziemlich verwirrt bei der Aufgabe, ich hoffe
> jetz stimmt es einigermaßen.
Ja, !
Guten Rutsch und viele Grüße
Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Sa 31.12.2005 | | Autor: | aLeX.chill |
Jo dir auch einen guten Rutsch und vielen Dank für deine Hilfe, hat mich sehr weitergebracht (speziell Loddar!) Bis dann!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $\bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] (n+1)*x^n$
[/mm]
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![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
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