Integralumformung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 20.10.2010 | | Autor: | euli |
| Aufgabe | | Seien $a >0$ konstant und $t>0$. Seien $f$, $g$ und $h$ reelle, stetige und differenzierbare Funktionen von [mm] \mathds{R} [/mm] nach [mm] \mathds{R} [/mm] und $h(0)=0$. Lässt sich der Ausdruck [mm] $a\int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds$ umformen in [mm] $A\left( h(t)-\int_0^t \frac{dg}{df}(s)\; h(t-s)\; ds \right)$, [/mm] wobei $A$ zu bestimmen ist und nur von $f$, $t$ und $a$ abhängt? |
Ich selber habe es mit partieller Integration und anschließender Substitution probiert, habe es aber nicht hingekriegt. Wäre für eine Antwort, Ideen und Tipps sehr dankbar.
Viele Grüße, euli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mi 20.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo euli, nochmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich sehe im Moment auch keinen Weg, das so umzuformen. Ist denn über g,f,h noch irgendetwas bekannt?
Sind z.B. g und h gerade oder ungerade Funktionen? Und steht in der Zielform tatsächlich df im Nenner?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Do 21.10.2010 | | Autor: | euli |
Hallo reverend,
mit [mm] \frac{dg}{df}(s) [/mm] meinte ich [mm] \dot{g}(f(s)) [/mm] bzw. $g'(f(s))$. Ich weiss noch, dass $g(0)=1$ ist. Wenn sich der Ausdruck nicht genau in den 2. Ausdruck umformen lässt, dann genügt mir das auch als Antwort. Allerdings sollte das Integral im 2. Ausdruck genau so aussehen.
Viele Grüße,
Uli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Mit partieller Integration bekomme ich
[mm] $\int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds= h(t)*g(f(0))-h(0)g(f(t))+ [mm] \integral_{0}^{t}{h(s)*g'(f(t-s)) ds}$
[/mm]
Substituiert man im Integral rechts u=t-s, so erhält man:
[mm] $\int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds= [mm] h(t)*g(f(0))-h(0)g(f(t))-\integral_{0}^{t}{h(t-u)*g'(f(u)) du}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Do 21.10.2010 | | Autor: | euli |
Hallo Fred,
danke für die Antwort. Ich glaube aber, es sind ein paar Fehler drin.
1. $g(f(t-s))$ muss bei der partiellen Integration nach $s$ abgeleitet werden, also $ [mm] \int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; [/mm] ds= [mm] h(t)\cdot{}g(f(0))-h(0)g(f(t))+ \integral_{0}^{t}{h(s)\cdot g'(f(t-s))\cdot f'(t-s)ds} [/mm] $.
2. Bei der anschließenden Substitution müssen die Grenzen mitsubstituiert werden, also ergibt sich [mm] $h(t)\cdot [/mm] g(f(0))-h(0)g(f(t))+ [mm] \integral_{0}^{t}{h(t-u)\cdot g'(f(u))\cdot f'(u)ds} [/mm] $.
Bitte korrigieren, wenn ich falsch liege.
Viele Grüße,
euli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für die Antwort. Ich glaube aber, es sind ein paar
> Fehler drin.
>
> 1. [mm]g(f(t-s))[/mm] muss bei der partiellen Integration nach [mm]s[/mm]
> abgeleitet werden, also [mm] \int_0^t g(f(t-s))\; \frac{d h(s)}{ds}\; ds= h(t)\cdot{}g(f(0))-h(0)g(f(t))+ \integral_{0}^{t}{h(s)\cdot g'(f(t-s))\cdot f'(t-s)ds} [/mm].
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> 2. Bei der anschließenden Substitution müssen die Grenzen
> mitsubstituiert werden, also ergibt sich [mm]h(t)\cdot g(f(0))-h(0)g(f(t))+ \integral_{0}^{t}{h(t-u)\cdot g'(f(u))\cdot f'(u)ds} [/mm].
>
> Bitte korrigieren, wenn ich falsch liege.
Du hast recht, da sind mir ein paar "dicke Dinger" geglückt
Gruß FRED
>
> Viele Grüße,
> euli
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