Integralsinus < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho!
Gibt es eine Möglichkeit, das Integral
[mm] $\integral_{0}^{x}{\frac{sin{s}}{s} ds}$
[/mm]
zu berechnen?
Ich lese hier grad in einem Artikel, dass dieses Integral für [mm] $x=\pi$ [/mm] sein Maximum erreicht und frage mich, wie man darauf kommt. Da ich vor Kurzem im Bronstein ein sehr interessantes, ausgefallenes Verfahren zum Lösen von Integralen gefunden habe, die mein Taschenrechner auch bloß numerisch lösen konnte. würd's mich sehr interessieren, ob es auch hier einen Trick gibt, mit dem man dieses Integral lösen kann.
Viele Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Gibt es eine Möglichkeit, das Integral
> [mm]\integral_{0}^{x}{\frac{\sin{s}}{s} ds}[/mm]
> zu berechnen?
Meiner Meinung nach gibt es keine elementare Möglichkeit.
> Ich lese hier grad in einem Artikel, dass dieses Integral
> für [mm]x=\pi[/mm] sein Maximum erreicht und frage mich, wie man
> darauf kommt.
Das Maximum in welchem Bereich? In [mm] $]0,2\pi]$? [/mm] Ich nehme das jetzt mal an. Da der Integrand beschränkt ist, existiert alle Riemann-Integrale. Weiterhin ist der Integrand im Bereich [mm] $]0,\pi[$ [/mm] positiv und im Bereich [mm] $]\pi,2\pi[$ [/mm] negativ. Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
Oder habe ich die Frage falsch verstanden?
Wenn du das Maximum auf ganz [mm] $\IR^+$ [/mm] meintest, dann musst du dir nich kurz überlegen, dass
[mm] $\integral_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} \frac{\sin(s)}{s}\, [/mm] ds < 0$
ist. Das ist aber nicht schwierig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Hmm, ich bin grad ein wenig veriwrrt.
Es ging mir nicht um einen Bereich sondern um die Frage, warum das Maximum bei [mm] $x=\pi$ [/mm] erreicht wird.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ja, aber die Integralfunktion (als Funktion der oberen Grenze) steigt doch so lange, wie der Integrand positiv ist und fällt dann wieder so lange, wie er negativ ist. (Denk mal an die Interpretation des Integrals als signierte Fläche.)
Schau dir meine Antwort noch einmal an, bitte. Ich habe auch noch was ergänzt, falls ihr das Maximum auf ganz [mm] $\IR^+$ [/mm] suchen solltet.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Danke dir, jetzt ist es mir wie folgt klar geworden:
Die Obergrenze muss [mm] $\pi$ [/mm] sein, da bei ihrem Zuwachs das Integral nur einen geringeren Wert haben würde. Schließlich flacht die Kurve durch die Division durch $s$ mit wachsendem $s$ immer weiter ab. Das führt dazu, dass das von dir in der ersten Antwort beschriebene Integral immer kleiner als Null ist, da der Flächeninhalt zwischen der X-Achse und dem Sinusbogen wegen der größeren Amplitude vom Betrag her größer ist als der, der im darauffolgenden Intervall, in dem die Funktion positiv ist, zwischen X-Achse und Graph entsteht, da dessen Amplitude durch höhere $s$ geringer als die des Bogens im Negativen ist.
Danke Stefan!!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:45 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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Vielleicht bin ich naiv oder habe nicht genau genug gelesen - aber in dem ganzen Thread
finde nicht die Antwort, wie man auf das Maximum kommt.
Es ist doch(?) so daß
[mm] $\frac{\partial ( \integral_{0}^{x} {f(s) \text{ds}})}{\partial \text{dx}} [/mm] = f(x)$
gilt,
und zur Bestimmung von Extrema die 0stellen der Ableitung zu bestimmen sind,
hier also die von [mm] $\frac{\sin x}{x}$
[/mm]
Gruß
F.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:25 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Friedrich!
> Vielleicht bin ich naiv oder habe nicht genau genug gelesen
> - aber in dem ganzen Thread
> finde nicht die Antwort, wie man auf das Maximum kommt.
> Es ist doch(?) so daß
> [mm]\frac{\partial ( \integral_{0}^{x} {f(s) \text{ds}})}{\partial \text{dx}} = f(x)[/mm]
>
> gilt,
> und zur Bestimmung von Extrema die 0stellen der Ableitung
> zu bestimmen sind,
> hier also die von [mm]\frac{\sin x}{x}[/mm]
So kann man es auch machen, und habe ich es zuerst auch gemacht. Bis mir dann die "Erleuchtung" kam, dass es ja viel einfacher geht, so wie jetzt von mir beschrieben. Denn wie begründest du jetzt, dass das Maximum auf [mm] $\IR^+$ [/mm] bei [mm] $\pi$ [/mm] liegt und nicht etwa bei [mm] $3\pi$?
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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Danke, Stefan,
stimmt,
ist die einfachste anschaulichste Methode -
obwohl natürlich auch [mm] $f''(\pi) [/mm] = [mm] \frac{-1}{\pi}$ [/mm] zeigt daß es ein Maximum ist.
Aber
vielleicht wurde in der Frage ja absolutes impliziert.
Übrigens
kann man nebenbei noch behaupten daß [mm] $\limes_{x \rightarrow \infty}f(x)$ [/mm] konvergiert ( $ [mm] \left| f((k+1)\pi)- f(k\pi) \right| [/mm] < [mm] \left| f(k\pi)- f((k-1)\pi) \right| [/mm] $ und Vorzeichen alternierend )
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Hi.
Um konkrete Werte für dieses Integral anzugeben, benötigt man den Integralsinus (der Wert ist dann einfach Si(x)), ohne diesen geht es im allgemeinen nicht.
Lediglich für spezielle Werte von x kommt man ohne ihn aus, so kann man zum Beispiel
[mm] $\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$ [/mm]
zeigen.
Gruß
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Riemann-Sinne, Lebuesgue-Integral *ganzdollverwirrt* 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Das Lebesgueintegral ist eine Verallgemeinerung des Riemannintegrales. So kann man mit ihm auch Funktionen, die sehr viele Unstetigkeitsstellen haben (genauer: bei denen die Menge der Unstetigkeitsstellen keine Nullmenge ist), ein Integral zuordnen, so zum Beispiel auch der Dirichletschen Funktion/ der charakteristischen Funktion von Q, die ja überall unstetig ist (ihr L-Integral über einem beliebigen Intervall ist 0).
Bei L-Integralen lässt man als Integrationsintervall auch unbeschränkte Intervalle zu und man kann zeigen, dass ein uneigentliches R-Integral genau dann ein L-Integral ist, wenn es absolut konvergiert. Das uneigentliche R-Integral
[mm] $\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$ [/mm] konvergiert nicht absolut und damit ist [mm] $\frac{\sin x}{x}$ [/mm] über [mm] $I=[0,\infty)$ [/mm] nicht L-integrierbar.
Dagegen existiert es als uneigentliches Riemannintegral sehr wohl, wie man ohne große Schwierigkeiten zeigt und man kann ihm den vorhin geposteten Wert zuordnen (diesen Wert dann jedoch herzuleiten bereitet schon sehr viel größere Schwierigkeiten, ein Weg führt zum Beispiel über Fourierreihen und bestimmt lässt es sich auch mit den mächtigen Methoden der Funktionentheorie herleiten).
Ich denke, das meinte stefan.
Gruß
Philipp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Phillip.
Woher weißt du das alles? Du sagst, du seiest 18-20 und weißt doch zu so vielen Dingen eine Antwort und hast das mathematische Wissen parat? Wie lange studierst du schon? Du beeindruckst mich immer wieder auf's Neue..
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Gruß,
Hanno
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Naja, ich interessiere mich halt für Mathematik, genauso wie du.
Ich studiere noch gar nicht, sondern besuche im Moment die 13. Klasse.
Ich würde aber auch gar nicht sagen, dass ich großartig Ahnung von Mathe habe, schau' dich mal auf dem Matheplaneten um, da findest du Leute, die 1-2 Jahre jünger sind als ich und 100 Mal mehr Ahnung haben (siehe Martin_Infinite), also staune lieber über die. ;)
Das, was ich weiß, habe ich zu großen Teilen aus Diskussionen im Internet und im Moment lese ich mal systematisch den Heuser von Anfang bis Ende durch, um ein vernünftiges Analysis Fundament zu bekommen (davor hatte ich nur Halbwissen und das lässt einen bei den höheren Themen dann schwer im Stich, weshalb ich nochmal bei 0 begonnen habe).
Ich erinnere mich, gelesen zu haben, dass du dir auch mal den Heuser besorgt hast; wie weit bist du denn inzwischen?
Ich bin so weit sehr zufrieden mit dem Buch, auch, wenn mir die ständige Argumentation mit Netzen sowie der Zugang zum Lebesgueintegral über Treppenfunktionen nicht unbedingt gut gefällt, aber ok, auch diese Definition wird ihre Vorteile haben.
Du scheinst dich im Moment ja auch eher auf die lineare Algebra spezialisiert zu haben, ein Thema, mit dem ich bisher nicht allzu viel zu tun hatte (ich habe den Bosch mal bis zur Hälfte überflogen (zwar alle Beweise nachvollzogen, aber keine Übungen gemacht), um die für die Analysis nötigen Begriffe kennenzulernen, scheitere jedoch bis heute am Kapitel über äußere Produkte und lese deshalb im Moment nicht mehr weiter (was eh so gut wie nichts bringt, wenn man keine Übungen macht)).
Naja, ich gehe dann mal schlafen.
Gute Nacht
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Di 05.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Phillip!
ICh habe den Heuser zwar, aber ich habe leider noch nicht allzu viel in ihm gelesen. Soll heißen, ich habe die ersten 80 Seiten mehr oder weniger durchgelesen, nicht aber die Aufgaben bearbeitet. Und immer wenn ich nun versuche, weiterzulesen, komme ich in den Zwiespalt der Frage: Soll ich erst die Aufgaben bearbeiten oder einfach mal weiterlesen.
Es war ja nicht wirklcih etwas Neues, was im ersten Kapitel behandelt wurde, aber dennoch habe ich ständig ein "schlechtes Gewissen", wenn ich weiterlese, ohne die Aufgaben bearbeitet zu haben.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Di 05.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Wenn ich dir einen Tipp geben darf: Mache die Aufgaben im Heuser lieber alle, auch wenn sie dir einfach erscheinen. Es hilft dir ungemein. Vor allem kannst du daran üben Aufgaben strukturiert aufzuschreiben.
Du kannst deine Lösungsvorschläge auch gerne ins Forum stellen, ich schaue sie dann alle durch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Di 05.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Es fällt mir leider nicht leicht, mir mal zwei Stunden Zeit zu nehmen, und diese teilweise wirklcih sehr einfachen Aufgaben alle runterzuschreiben. Dann überlege ich meistens auch noch, ob ich die nicht lieber am Computer aufschreiben osll, und wenn ja, dann dauert das noch doppelt so lange. Just in diesem Moment sitze ich und gehe ein paar Aufgaben auf Seite 63 durch, manche überlege ich mir im Kopf, manche schreibe ich auf - ich denke, dass das immernoch eine gute Methode ist. Bei anspruchsvolleren Aufgaben jedoch, da gebe ich dir recht, ist es, auch für mich als jemanden, der noch einiges, wie acuh du sagst, an seinem Ausdrucksvermögen tuen muss, sicherlich angebracht, eine solche Aufgabe einmal aufzuschreiben.
Du hattest ja selber gesagt, dass wir nach dem LA Buch auch mal ein wenig Analysis betrieben können. Andererseits könnte man sich auch überlegen, eine Art Mischung zu machen - immer ein Kapitel Analysis, dann ein Kapitel Lineare Algebra - das hätte meiner MEinung nach den Vorteil, dass man nicht ein Buch fertig bearbeitet und dann viel von dem Stoff, den man bearbeitet hat, wieder vergrisst, während man das andere bearbeitet - nun gut, vielleicht spreche ich mir da auch aus der Seele, ich bin nämlcih ein sehr sehr vergesslicher Mensch ;)
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Di 05.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan!
Super, das freut mich sehr!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:51 Di 05.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Philipp, lieber Hanno!
> und bestimmt lässt es sich auch mit den
> mächtigen Methoden der Funktionentheorie herleiten).
Ja, in der Tat kann man das Integral auch mit dem Residuenkalkül berechnen.
> Ich denke, das meinte stefan.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vielen Dank, dass du darauf hingewiesen hast, dass man unbedingt Übungsaufgaben machen muss um etwas zu lernen. Das ist absolut auch meine Einstellung. Bei mir war es immer so in meinem Studium, dass ich bei allen Büchern, die ich durchgearbeitet habe, auch immer alle Aufgaben versucht habe. Sonst vertieft sich das Wissen nicht und man überliest die Schwierigkeiten.
Ansonsten bewundere ich euch alle hier, dass ihr euch schon zu Schulzeiten so sehr für die Höhere Mathematik begeistern könnt. Da wäre ich damals nie auf die Idee gekommen, muss ich ehrlich sagen, ich hatte in dem Alter doch eher anderes im Sinn.
Klar, gibt es immer Leute, die begabter sind und mehr wissen, wie z.B. Martin_Infinite. Und es gibt vielleicht auch noch jüngere Leute, die noch begabter sind und noch mehr wissen, nur treiben sich die dann nicht unbedingt in den Matheforen rum. Eines ist ganz wichtig: Man darf sich nicht zu sehr an anderen messen und muss vielmehr sein eigenes Tempo und seine eigene Methodik finden. Man darf nicht verkrampfen und den Spaß an der Sache nicht verlieren. Und vor allem sollte man auch seine soziale Kompetenz und Intelligenz nicht ganz vernachlässigen. Und in diesem Punkte hapert es doch (leider) bei einigen jungen Mathegenies ganz gewaltig! (Fühlt euch nicht angesprochen...  ). Um beim Mathematischen zu bleiben (sonst wird es hier zu persönlich): Man muss auch lernen seine Gedanken strukturiert aufzuschreiben und anderen, schwächeren Personen Mathematik vermitteln zu können.
Amen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Di 05.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan, hi Phillipp!
> Klar, gibt es immer Leute, die begabter sind und mehr wissen, wie z.B. Martin_Infinite. Und es gibt vielleicht auch noch jüngere Leute, die noch begabter sind und noch mehr wissen, nur treiben sich die dann nicht unbedingt in den Matheforen rum. Eines ist ganz wichtig: Man darf sich nicht zu sehr an anderen messen und muss vielmehr sein eigenes Tempo und seine eigene Methodik finden.
Da hast du vollkommen recht, und wenn ich ehrlich bin, dann tue ich das leider leider ab und zu doch. Ich denke mir, ich müsse unbedingt vorankommen, sehe, dass ich mal wieder nichts geschafft habe, mache mir Vorwürfe und setze ich mich selber unter Druck. Dass da nicht allzu viel bei rausspringt, ist ja klar. Ich würde den Heuser auch gerne lesen, aber aus Mangel an Zeit und vorallem auch durch den Mangel an Diszuplin, der bei mir zu Tage tritt, komme ich oftmals zu nichts, auch wenn ich zwei Stunden Zeit habe. Das ist ein wenig schade, zumal ich es ja schon oft erlebt habe, was für große Fortschritte man machen kann, wenn man Spaß an der Sache hat (ein gutes Beispiel sind z.B. die Mathe-Wettbewerbe: da hatte ich vor 3 Monaten noch nicht den geringsten Schimmer von). Doch leider bin ich ein viel zu selbstkritischer Mensch und mache mich eher selber fertig, als es einfach so hinzunehmen, dass es auch Tage gibt, an denen es nicht so läuft.
Ich lege allerdings auch Wert auf eine andere Art von mathematischem Wissen: ich kaufe mir ab und zu auch Bücher, in denen nicht stur Formeln gepaukt werden und neue Themengebiete ergründet werden, sondern in denen ich etwas über den Hintergrund der Mathematik erfahre, über die Geschichte, über Menschen, die sich über den Sinn der Mathematik Gedanken gemacht haben. Sowas, so finde ich, gehört zu einer mathematischen Allgemeinbildung ebenso dazu, wie eine breite Kenntnis am eigenltichen Stoff.
> Man darf nicht verkrampfen und den Spaß an der Sache nicht verlieren. Und vor allem sollte man auch seine soziale Kompetenz und Intelligenz nicht ganz vernachlässigen. Und in diesem Punkte hapert es doch (leider) bei einigen jungen Mathegenies ganz gewaltig! (Fühlt euch nicht angesprochen... ). Um beim Mathematischen zu bleiben (sonst wird es hier zu persönlich): Man muss auch lernen seine Gedanken strukturiert aufzuschreiben und anderen, schwächeren Personen Mathematik vermitteln zu können.
Zum "Verkrampfen" s.o.
Bei der sozialen Kompetenz stimme ich dir voll und ganz zu. Es gibt einige, die sind, das ist unbestreitbar, Genies. Die haben so viel im Kopf, wissen alles, kommen auf jeden Beweis, und sind in ihrem Fach einfach die Besten in Deutschland - aber wenn man dann mti ihnen redet, dann kommt da eine Arroganz und eine ÜBerheblichkeit, die einem schon zu denken gibt. GEnau so schlimm ist es bei Leuten, die auch alles verstehen, es aber, wenn sie es einem Nichtwissenden erklären sollen, mit diesem so sprechen, als seie der dumm wie ein Pfund Wurst - sowas finde ich selber auch schrecklich.
Ich könnte noch stundenlang so weitertexten, aber ich mache hier einfach mal einen Punkt und warte auf deine / eure Antworten
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Di 05.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich finde deine Einstellung und deine offenen und zum Teil auch selbstkritischen Worte sehr beachtlich und lobenswert. Du bist echt im letzten Jahr (so lange verfolge ich ungefähr deine Beiträge in zwei Foren, einem schlechten und einem guten ) menschlich sehr gereift und das freut mich ungemein. Vor allem machst du dir Gedanken nicht nur zur reinen Mathematik, sondern auch um das Drumherum; das sehe ich ja auch im Tutorenforum, an deiner engagierten Arbeit im Projektteam, und das freut mich sehr.
> Da hast du vollkommen recht, und wenn ich ehrlich bin, dann
> tue ich das leider leider ab und zu doch. Ich denke mir,
> ich müsse unbedingt vorankommen, sehe, dass ich mal wieder
> nichts geschafft habe, mache mir Vorwürfe und setze ich
> mich selber unter Druck.
Sieh es doch mal entspannter. Alles, was du jetzt neben der Schule machst, ist eine Kürveranstaltung, an der du Spaß haben solltest. Druck ist da völlig unnötig. Du machst schon mehr als genug, und erzielst Riesenfortschritte. Deine Kreativität (gerade bei den Wettbewerbsaufgaben) bewundere ich sowieso ungemein, da habe ich (leider) nicht einen Funken von. Woran wir noch arbeiten müssen, ist an mehr Struktur in deinen Gedanken, vor allem an einem strukturierten Aufschreiben der Gedankengänge, aber das kriegen wir hin und das ist auch schon etwas besser geworden in der letzten Zeit.
Lieber Hanno, du hast gerade eine Klasse übersprungen und machst hier nebenbei (wo andere erst einmal ins Rotieren kommen würden, um den Stoff der 11 nachzuholen) noch Uni-Mathematik. Du kannst wirklich sehr stolz auf deine Leistung sein! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
> Dass da nicht allzu viel bei
> rausspringt, ist ja klar. Ich würde den Heuser auch gerne
> lesen, aber aus Mangel an Zeit und vorallem auch durch den
> Mangel an Diszuplin, der bei mir zu Tage tritt, komme ich
> oftmals zu nichts, auch wenn ich zwei Stunden Zeit habe.
Du darfst in deinem Alter auch mal was anderes machen als Mathematik. Freizeit ist nichts Unanständiges. Wenn du Lust hast Mathe zu machen, dann mache es, aber zwinge dich bitte zu nichts.
> Das ist ein wenig schade, zumal ich es ja schon oft erlebt
> habe, was für große Fortschritte man machen kann, wenn man
> Spaß an der Sache hat (ein gutes Beispiel sind z.B. die
> Mathe-Wettbewerbe: da hatte ich vor 3 Monaten noch nicht
> den geringsten Schimmer von).
(hier klopfe ich mir jetzt ausnahmsweise mal selber auf die Schulter )
> Ich lege allerdings auch Wert auf eine andere Art von
> mathematischem Wissen: ich kaufe mir ab und zu auch Bücher,
> in denen nicht stur Formeln gepaukt werden und neue
> Themengebiete ergründet werden, sondern in denen ich etwas
> über den Hintergrund der Mathematik erfahre, über die
> Geschichte, über Menschen, die sich über den Sinn der
> Mathematik Gedanken gemacht haben. Sowas, so finde ich,
> gehört zu einer mathematischen Allgemeinbildung ebenso
> dazu, wie eine breite Kenntnis am eigenltichen Stoff.
Ganz meine Meinung!!! Ich lese auch sehr viele populärwissenschaftliche Bücher, die sich mit der Mathematik im weitesten Sinne beschäftigen.
> Bei der sozialen Kompetenz stimme ich dir voll und ganz
> zu. Es gibt einige, die sind, das ist unbestreitbar,
> Genies. Die haben so viel im Kopf, wissen alles, kommen auf
> jeden Beweis, und sind in ihrem Fach einfach die Besten in
> Deutschland (man schaue sich nur Daniel Gutekunst an) -
> aber wenn man dann mti ihnen redet, dann kommt da eine
> Arroganz und eine ÜBerheblichkeit, die einem schon zu
> denken gibt.
Ja, das ist manchmal leider so. Wobei ich auch Riesengenies kenne, die unglaublich lieb und hilfsbereit sind, zum Beispiel meinen Diplomvater, Prof. Albeverio, den Menschen mit den weltweit zweitmeisten mathematischen Veröffentlichungen aller Zeiten (Nummer eins ist Paul Erdös).
> GEnau so schlimm ist es bei Leuten, die auch
> alles verstehen, es aber, wenn sie es einem Nichtwissenden
> erklären sollen, mit diesem so sprechen, als seie der dumm
> wie ein Pfund Wurst - sowas finde ich selber auch
> schrecklich.
Mir gefällt das sehr, was du hier schreibst. Und so trittst du hier bei deinen Antworten gegenüber hilfsbedürftigen Schülern, die ja zum Teil älter sind als du, auch auf. Weiter so!!
Liebe Grüße
Stefan
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