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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Di 11.10.2005 | | Autor: | Jean |
Hallo
Ich habe schon wieder eine Frage und zwar wurde mir die Aufgabe [mm] \integral_{ 0}^{\bruch{\pi}{8}} [/mm] {(tan(2*x) + [mm] \bruch{In(x+1)}{x+1} [/mm] dx} gestellt. Daraus kann ich machen:
[mm] \integral_{ 0}^{\bruch{\pi}{8}}{ \bruch{-[(cos(2*x)]'}{cos(2*x)} dx} [/mm] +
[mm] \\integral_{ 0}^{\bruch{\pi}{8}} [/mm] { [mm] \bruch{In(x+1)}{x+1} [/mm] dx}
= [mm] \integral_{ 0}^{\bruch{\pi}{8}} [/mm] { [mm] \bruch{-[(cos(2*x)]'}{cos(2*x)} [/mm] dx} +
[mm] \integral_{ 0}^{\bruch{\pi}{8}}{ In(x+1) * \bruch{1}{x+1} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{ 0}^{\bruch{\pi}{8}}{ \bruch{-[(cos(2*x)]'}{cos(2*x)} dx} [/mm] +
[mm] \integral_{ 0}^{\bruch{\pi}{8}} [/mm] { In(x+1) * [In(x+1)]' dx}
Ist mein Ansatz hinter dem + richtig oder sowieso ganz falsch? Und was muss ich als nächstes machen? Bitte nur den nächsten Schritt verraten, damit ich im weiteren selber drauf kommen kann. 
Danke
Jean
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 11.10.2005 | | Autor: | Jean |
Nein, es hilft mir nicht direkt weiter, weil ich nicht weiß was eine Substitution ist. Normalerweise mache ich die Mathematik auf Französisch, also vielleicht fällt mir bei einer kleinen Erklärung das entsprechende ein.
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Hi, Jean,
> Nein, es hilft mir nicht direkt weiter, weil ich nicht weiß
> was eine Substitution ist. Normalerweise mache ich die
> Mathematik auf Französisch, also vielleicht fällt mir bei
> einer kleinen Erklärung das entsprechende ein.
>
Also Das erste Integral kannst Du mit Hilfe der folgenden (leicht nachzuprüfenden) Regel lösen:
[mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx} [/mm] = ln|f(x)| + c.
Nun zum 2. Teil:
"Substitution" kommt vom Lateinischen "substituere" = "ersetzen" und bedeutet, dass man einen Term durch einen anderen ersetzt.
Loddars Vorschlag:
t= ln(x+1)
Das kannst Du als Funktionsgleichung auffassen und daher ableiten:
=> [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] |*dx
<=> dt = [mm] \bruch{1}{x+1}dx
[/mm]
Daher wird aus Deinem Integral [mm] \integral{ln(x+1)*\bruch{1}{x+1}dx}
[/mm]
nach der Substitution [mm] \integral{t*dt}.
[/mm]
Das zu berechnen, fällt Dir sicher leicht.
Anschließend ersetzt Du t wieder durch ln(x+1) (=Rücksubstitution!) und kannst die vorgegebenen Grenzen einsetzen.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Di 11.10.2005 | | Autor: | Jean |
Also zum zweiten Teil:
Ich habe [mm] \integral_{0}^{ \bruch{\pi}{8}} [/mm] {d.dt}
Daraus wird: [mm] [\bruch{d²}{2} [/mm] * [mm] \bruch{(dt)²}{2}] [/mm] (ich weiß nicht wie man hier [mm] \bruch{\pi}{8} [/mm] und 0 an die Enden setzt)
[mm] \gdw [\bruch{In²(x+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2(x+1)²}] [/mm] (wieder das gleiche)
[mm] \gdw [/mm] 0,014142 - 0 = [mm] \bruch{\pi}{222}
[/mm]
Danke
Jean
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Di 11.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Jean,
> Also zum zweiten Teil:
> Ich habe [mm]\integral_{0}^{ \bruch{\pi}{8}}[/mm] {d.dt}
Nein! Wir berechnen zunächst nur das UNBESTIMMTE INTEGRAL
[mm] \integral{t dt}.
[/mm]
Die Grenzen werden erst NACH DER RÜCKSUBSTITUTION wieder interessant!
> Daraus wird: [mm][\bruch{d²}{2}[/mm] * [mm]\bruch{(dt)²}{2}][/mm]
SO NICHT! Das hast Du falsch verstanden! Das "dt" ist lediglich die Integrationsvariable.
Daher: [mm] \integral{t dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}t^{2} [/mm] (+c)
Rücksubstitution:
[mm] \bruch{1}{2}(ln(x+1))^{2} [/mm] (+c)
Und HIER setzt Du nun die Grenzen ein!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 11.10.2005 | | Autor: | Jean |
Eben hatten wir:
Das kannst Du als Funktionsgleichung auffassen und daher ableiten:
=> [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] |*dx
<=> dt = [mm] \bruch{1}{x+1}dx [/mm]
Ich kann doch nicht einfach [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] vergessen und nicht mehr behandeln oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Jean!
> Ich kann doch nicht einfach [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] vergessen und
> nicht mehr behandeln oder?
Das vergessen wir ja auch nicht. Wir ersetzen doch den Ausdruck [mm] $\bruch{1}{1+x}dx$ [/mm] durch den Ausdruck $dt_$ , da ja gilt (siehe oben):
[mm] $\red{dt} [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{1+x}dx}$ [/mm] mit [mm] $\blue{t} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\ln(x+1)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{\blue{\ln(x+1)}*\red{\bruch{1}{1+x}dx}} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\blue{t} \ \red{dt}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Jean |
Hier sind ein paar Sätze von Zwerglein:
SO NICHT! Das hast Du falsch verstanden! Das "dt" ist lediglich die Integrationsvariable.
Daher: [mm] \integral{t dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}t^{2} [/mm] (+c)
Rücksubstitution:
[mm] \bruch{1}{2}(ln(x+1))^{2} [/mm] (+c)
Ende
Daraus geht hervor, dass ich nur das t, aber nicht das dt beachte
Danke auf jeden Fall
Jean
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jean!
In einem Integral [mm] $\integral{f(x) \ \red{dx}}$ [/mm] gibt das [mm] $\red{dx}$ [/mm] (das sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Differential) die Variable an, nach der integriert werden soll - hat also in den meisten Fällen lediglich eine symbolische Bedeutung.
Bei Integration durch Substitution (also Ersetzung einer Variable durch eine andere) ist jedoch darauf zu achten, dass auch dieses Differential an die neue Integrationsvariable angepasst bzw. umgewandelt wird.
Dies haben wir ja oben gemacht ...
Wir hatten ersetzt: $t \ := \ [mm] \ln(x+1)$ [/mm] , und nun mussten wir das $dx_$ umwandeln in ein $dt_$.
Dies funktionierte über die Ableitung von $t \ = \ t(x)$ nach der Variablen $x_$ :
$t'(x) \ = \ [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \ln(x+1) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Durch Umformung haben wir dann erhalten: $dt \ = \ [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] * dx$ .
Nun klar(er) ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 12.10.2005 | | Autor: | Jean |
Ja, ich glaube jetzt, schlussendlich habe ich es so weit verstanden, dass ich damit rechnen kann. Danke an Alle.
Jean
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nicht ganz ...
Kettenregel![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das ist völlig richtig so ...
