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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Sa 30.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Berechnen sie das Integral:
[mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{logx}{x} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe mir vollgendes überlegt:
Mit der Substitution:
u=logx und du=dx/x
[mm] \integral_{1}^{e}{{u} du}=\bruch{u^2}{2}
[/mm]
ich würde jetzt rücksubstituieren und die Grenzen einsetzen, aber manchmal verändern sich die Grenzen. Das versteh ich nicht so ganz. Stimmt es das die Grenzen dann verändert werden, wenn nicht rücksubstituiert wird? Und kann mir jemand sagen, wo ich im Internet erklärt bekomme, wie das mit den Grenzen funktioniert?
Vielen dank im voraus!
Lg Melisa
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> Berechnen sie das Integral:
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> [mm]\integral_{1}^{e}{\bruch{logx}{x} dx}[/mm]
> Hallo,
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> ich habe mir vollgendes überlegt:
vollgendes ??
>
> Mit der Substitution:
>
> u=logx und du=dx/x
>
> [mm]\integral_{1}^{e}{{u} du}=\bruch{u^2}{2}[/mm]
>
> ich würde jetzt rücksubstituieren und die Grenzen
> einsetzen, aber manchmal verändern sich die Grenzen. Das
> versteh ich nicht so ganz. Stimmt es das die Grenzen dann
> verändert werden, wenn nicht rücksubstituiert wird? Und
> kann mir jemand sagen, wo ich im Internet erklärt bekomme,
> wie das mit den Grenzen funktioniert?
>
> Vielen dank im voraus!
>
> Lg Melisa
Hallo Melisa,
man hat da zwei Möglichkeiten, wie du sagst:
1.) rücksubstituieren und dann die alten Grenzen, also
jene für die ursprüngliche Integrationsvariable x einsetzen
2.) nicht rücksubstituieren - also bei der neuen Variablen u
bleiben. Es ist klar, dass man dann für dieses u auch wirklich
u-Werte (und nicht x-Werte) einsetzen muss. Man muss also
die Integrationsgrenzen "transformieren", das heißt die alten
Integrationsgrenzen [mm] (x_{min} [/mm] und [mm] x_{max}) [/mm] durch die ihnen gemäß der
Substitutionsgleichung entsprechenden u-Werte ersetzen.
Eigentlich einleuchtend, oder ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 30.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Al-Chw,
danke erstmal für deine Erklärung.
Ich habe das jetzt mit der rücksubstitution gemacht und habe für die STammfunktion:
[mm] \bruch{(log(x))^2^}{2}
[/mm]
Wenn ich die Grenzen einsetze bekomme ich dann 1/2 raus, weil log(1)=0 und Log(e)=1 ist. Stimmt das?
Lg Melisa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 30.10.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> danke erstmal für deine Erklärung.
>
> Ich habe das jetzt mit der rücksubstitution gemacht und
> habe für die STammfunktion:
>
> [mm]\bruch{(log(x))^2^}{2}[/mm]
>
> Wenn ich die Grenzen einsetze bekomme ich dann 1/2 raus,
> weil log(1)=0 und Log(e)=1 ist. Stimmt das?
Ja, das ist richtig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 So 31.10.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
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>
> Ich habe das jetzt mit der rücksubstitution gemacht und
> habe für die STammfunktion:
>
> [mm]\bruch{(log(x))^2^}{2}[/mm]
>
> Wenn ich die Grenzen einsetze bekomme ich dann 1/2 raus,
...
Nur der Vollständigkeit halber hier noch das von Al-Chwarizmi vorgeschlagene Verfahren:
Aus $u(x) = [mm] ln(x)~\implies~u(1)=0$ [/mm] und $u(x) = [mm] ln(x)~\implies~u(e)=1$
[/mm]
Dann ist Dein Integral jetzt:
[mm] $\int_0^1 [/mm] u du = [mm] \left[\frac12 u^2\right]_0^1 [/mm] = [mm] \frac12$
[/mm]
Für meinen Geschmack etwas eleganter und einfacher.
Salve
Pappus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 So 31.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
super danke dann habe ich das auch verstanden 
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