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Hallo zusammen.
Ich bin auf zwei Aufgaben gestoßen, bei denen ich nicht den Unterschied erkenne. Vielleicht kann mir ja jemand hier sagen, was hierbei zu beachten ist:
[mm] I_{1}=\integral_{3\pi}^{4\pi}{|sin(2x) + 3*cos(2x)| dx}
[/mm]
[mm] I_{2}=\integral_{3\pi}^{4\pi}{(sin(2x) + 3*cos(2x)) dx}
[/mm]
Für mich sieht es wie ein optischer unterschied aus, aber ich denke es wird wohl etwas mehr dahinter stecken. Bisland waren mir Betragsstriche nur geläufig wenn etwas positiv bleiben soll.
Über Hilfe würde ich mich freuen,
Gruß Jens
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Jens,
Das Integral wird ja durch den Grenzwert einer Produktsumme [mm] $\sum_{i\in I} f(x_i) \Delta [/mm] x$ gebildet. Mathematisch sind aber auch negative Werte für [mm] $f(x_i)$ [/mm] und [mm] $\Delta [/mm] x$ sinnvoll. Daher kann man das vertauschen der Integrationsgrenzen als Vorzeichenwechsel für [mm] $\Delta [/mm] x$ interpretieren und erhält deswegen auch einen Vorzeichenwechsel für den Wert des Integrals.
Auch nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung würde ja
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x) dx = F(b)-F(a)$ ein Vorzeichenwechsel zu [mm] $\int_b^a [/mm] f(x)dx = F(a)-F(b)$ darstellen.
Gruß Max
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Danke für die Antwort.
Ich habe jetzt aus deinem Beitrag entnommen, dass ich rechentechnisch nicht anderes vorgehen muss. Also beide Aufgaben mit den gleichen Rechenregeln bearbeiten.
Ein Unterschied tritt erst beim Einsetzen der Grenzen auf, indem ich an dieser Stelle die Betragsstriche geltend mache?
Noch eine kleine Frage:
Habe mir mal die Funktion genau zwischen den Grenzen plotten lassen, und sehe das es dort zwei Nullstellen gibt. Muss ich dann hier 3 Integrale für diese Aufgabe rechnen? Meine mich vom Abi an sowas zu erinnern, dass wenn ich Nullstellen habe, dass ich ein neues Integral benötige.
Gruß Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Jens,
> Danke für die Antwort.
np
> Ich habe jetzt aus deinem Beitrag entnommen, dass ich
> rechentechnisch nicht anderes vorgehen muss. Also beide
> Aufgaben mit den gleichen Rechenregeln bearbeiten.
>
> Ein Unterschied tritt erst beim Einsetzen der Grenzen auf,
> indem ich an dieser Stelle die Betragsstriche geltend
> mache?
Wieso musst du Betragsstriche geltend machen. Das Integral hat halt manchmal einen negativen Wert - nur wenn man das Integral zu reinen Flächenbestimmung berechnen muss darf es nur positive Werte annehmen.
> Noch eine kleine Frage:
> Habe mir mal die Funktion genau zwischen den Grenzen
> plotten lassen, und sehe das es dort zwei Nullstellen gibt.
> Muss ich dann hier 3 Integrale für diese Aufgabe rechnen?
> Meine mich vom Abi an sowas zu erinnern, dass wenn ich
> Nullstellen habe, dass ich ein neues Integral benötige.
Du musst nur dann das Integral für die drei Intervalle berechnen, wenn du die Fläche zwischen der Integrandenfunktion und der $x$-Achse (ungewichtet) suchst. Sonst musst du auch einfach nur die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen.
> Gruß Jens
Gruß Max
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens!
Wie so oft: Skizzen erläutern das sehr schön ...
[1] [mm] $f_1(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x) [/mm] + [mm] 3*\cos(2x)$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
[2] [mm] $f_2(x) [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \sin(2x) + 3*\cos(2x) \ \right|$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich denke, hier ist der Unterschied (auch für die zugehörigen Integrale) mehr als deutlich ...
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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