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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 So 31.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Bei einem zentralen Stoß wirkt auf einen Körper der Masse [mm] 10^{-3} [/mm] kg zwischen to = 0s und t1 = 0,1 s die zeitlich veränderliche Kraft F(t) = [mm] (t^{4} [/mm] - [mm] 0,2st^{3}+0,01s^{2}t^{2}) [/mm] N * [mm] s^{-4}.
[/mm]
Man berechne nach dem Impulssatz [mm] \integral_{to}^{t1}{f(t) dt} [/mm] = m * v die Geschwindigkeit v, die der Körper nach dem Stoß hat! |
Ich hätte zu dieser Aufgabe folgende Frage:
Wir haben das gelöst und haben dabei s weglassen dürfen (lt. Lektor).
Wieso darf ich s weglassen? Und auch das groß N wurde weggelassen beim Integrieren! Kann mir das bitte einer plausibel erklären?
Danke!
lg
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Hallo Andi,
was meinst Du denn mit s und N "weglassen"? Geht es um die physikalischen Einheiten Sekunde und Newton? Üblicherweise integriert man tatsächlich ohne Einheiten, was allerdings immer die Gefahr birgt, dass man "am Ende" nicht mehr weiß, was die richtige Einheit für das Ergebnis ist. Das muss man dann getrennt noch einmal überprüfen.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 So 31.05.2009 | | Autor: | andi7987 |
Naja, wir haben beim Integrieren einfach s und N weggelassen!
Also folgendermassen:
[mm] \integral_{0}^{0,1}{t^{4} - 0,2t^{3}+0,01t^{2} dt} [/mm] = [mm] 10^{-3}*v
[/mm]
dann integrieren:
[mm] \bruch{1}{5}t^{5} [/mm] - [mm] 0,2\bruch{1}{4}t^{4}+0,01\bruch{1}{3}t^{3} [/mm] = [mm] 10^{-3}*v
[/mm]
Dann eben 0 bzw. 0,1 eingesetzt und nach v ausgerechnet!
Ergebnis ist dann v = 0,00033 m/s
Liegt es vielleicht daran dass mit dt angzeigt wird, dass es nach t integriert wird und daher die anderen Variablen wie s und N vernachlässigbar sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 So 31.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
> Liegt es vielleicht daran dass mit dt angzeigt wird, dass
> es nach t integriert wird und daher die anderen Variablen
> wie s und N vernachlässigbar sind?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nicht vernachlässigbar, aber es sind dann Konstanten, da ja nach t integriert.
Gruß
Loddar
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:53 So 31.05.2009 | | Autor: | reverend |
Widerspruch!
Einheiten als Konstanten zu behandeln, die dann vor ein Integral gezogen werden könnten, funktioniert keineswegs zuverlässig und ist daher auch nicht zulässig.
Schau mal meinen gerade eingestellten Beitrag dazu hier an.
Grüße
reverend
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Hallo Andi,
da muss ich Loddar widersprechen.
s und N sind hier keine Variablen, sondern physikalische Einheiten: s für Sekunde, N für Newton. Die Sekunde ist eine Grund-(oder Ur-)einheit, während das Newton abgeleitet ist aus anderen Einheiten: [mm] 1N=1\tfrac{kg*m}{s^2}.
[/mm]
In der Physik gehört zu den meisten Größen eine Einheit; nur wenige Naturkonstanten sind einheitslos. Für die mathematische Behandlung der Physik sind die Einheiten aber oft ein Hindernis. Hierzu ein einfaches Beispiel:
Ein Körper mit der Masse 6g und der Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_0=0\tfrac{m}{s^2} [/mm] falle 3s lang nur von der Erdbeschleunigung beeinflusst senkrecht nach unten. Wie tief ist er in dieser Zeit gefallen?
Ansatz:
Es ist [mm] a=g=9,81\tfrac{m}{s^2}. [/mm] Sei [mm] t_0=0s, t_1=3s. [/mm] (Alle "s" stehen für die Einheit Sekunde, das "m" für die Einheit Meter; g bezeichnet die Erdbeschleunigung, a ist die übliche Variable für die Beschleunigung im allgemeinen).
Sei weiter [mm] s_0=0m [/mm] (Achtung: hier steht das "s" für die Variable, die die Weglänge beschreibt, das "m" wieder für Meter).
Es ist [mm] v_0=0\tfrac{m}{s^2}. [/mm] (v: Variable für Geschwindigkeit, m: Meter, s: Sekunde)
Außerdem ist m=6g (hier steht "m" für die Masse, "g" für die Einheit Gramm).
Nun ist die Momentangeschwindigkeit [mm] v(t)=v_0+\integral_{t_0}^{t}{a\ dt}.
[/mm]
Die zurückgelegte Strecke ist [mm] s(t)=s_0+\integral_{t_0}^{t}{\left(v_0+\integral_{t_0}^{t}{a\ dt}\right)\ dt}.
[/mm]
Wenn man die bekannten Werte für [mm] s_0, t_0, v_0 [/mm] und a einsetzt, ergibt sich:
[mm] s(t)=\integral_{0}^{t}{\left(\integral_{0}^{t}{g\ dt}\right)\ dt}=\integral_{0}^{t}{\integral_{0}^{t}{g\ dt^2}}
[/mm]
Dann ist also die gesuchte Strecke [mm] s_1=\integral_{0}^{t_1}{\left(\integral_{0}^{t_1}{g\ dt}\right)\ dt}=\integral_{0}^{t_1}{\integral_{0}^{t}{g\ dt^2}}
[/mm]
So, viele Buchstaben in diesem Doppelintegral...
Es ist im Moment keine einzige Einheitenbezeichnung dabei.
[mm] s_0, t_0 [/mm] und [mm] v_0 [/mm] sind Konstanten und hier schon eingesetzt (alle =0).
Bleibt noch die Konstante [mm] t_1, [/mm] die hier als Integrationsgrenze auftaucht. Dann g, hier der konstante Wert der Beschleunigungsfunktion a(t), sowie die Integrationsvariable t.
Mathematisch ist das ganz leicht zu lösen: [mm] s_1=\left[\bruch{1}{2}gt^2\right]_0^3=\bruch{9}{2}g
[/mm]
Wenn ich nun aber g mit seiner üblichen Einheit [mm] \tfrac{m}{s^2} [/mm] versehe, bekomme ich kein sinnvolles Ergebnis. Gesucht war ja eine Strecke. Sie sollte eine Einheit haben, die sich vom Meter herleitet.
Nun habe ich eine Konstante zweimal über dt integriert - das Integral trägt daher die Einheit [mm] s^2. [/mm] Das muss ich berücksichtigen, wenn ich einsetze, so dass die Lösung lautet:
[mm] s_1=\bruch{9}{2}*9,81\left[\bruch{m}{s^2}*s^2\right] \approx{44,15m}
[/mm]
Dabei wird eine weitere Verwirrung zwischen mathematischer und physikalischer Notation offenbar: die eckigen Klammern, die die Grenzen des bestimmten Integrals bezeichneten, sind genau die gleichen, die in der Physik für die grafische Abgrenzung der Einheitenberechnung verwendet werden.
Hättest Du übrigens die Einheiten wie Konstanten behandelt, wärst Du hier eben nicht zur richtigen Einheit der Lösung gekommen.
In der Physik ist es ganz elementar wichtig, unterscheiden zu lernen, welcher Buchstabe in einer bestimmten Rechnung eine Variable, eine (Natur-)Konstante oder eine Einheit bezeichnet. Wir haben zuwenig Buchstaben, um da absolute Eindeutigkeit zu erlangen - siehe die Aufgabenstellung oben, in der s und m als Bezeichnungen von Variablen und von Einheiten dienen, und g als Bezeichnung einer Einheit und einer Konstanten.
Liebe Grüße
reverend
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