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hallo!
ich habe ein problem mit einer aufgabe. sie lautet wie folgt:
f(x)= [mm] \bruch{x}{x²+k²} [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0
zeige, dass der inhalt der fläche, die der graph von f mit der 1. Achse im 1.Quadranten zwischen der stelle x=0 und der extremstelle von f von k unabhängig ist.
Extremstelle: [mm] \pm [/mm] k
wenn ich das richtig verstanden hab muss ich jetzt einfach das intgral berechnen von 0 bis k. dabei müsste dann ein ergebnis rauskommen das kein k enthält. aber ich bekomme den term nicht aufgeleitet :(
wäre cool wenn mir da wer helfen würde.
danke schonmal im vorraus
mfg
sk8eagle87
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hi
danke für die antwort. aber könntest du vielleicht die einzelnen schritte dazu schreiben. das mit der substitution hab ich noch nicht so richtig verstanden.
danke im voraus
mfg
sk8eagle87
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo sk8eagle87 !!
Wir haben ja:
[mm] $\integral_{0}^{k}{\bruch{x}{x^2 + k^2} \ dx}$
[/mm]
Wie Bastiane geschrieben hat, substituieren wir: $u \ = \ [mm] x^2 [/mm] + [mm] k^2$
[/mm]
Damit wird auch: $u \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ 2x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{du}{2x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\integral_{x=0}^{x=k}{\bruch{x}{x^2+k^2} \ dx}$
[/mm]
$= \ [mm] \integral_{x=0}^{x=k}{\bruch{x}{u} \ \bruch{du}{2x}}$
[/mm]
Kürzen:
$= \ [mm] \integral_{x=0}^{x=k}{\bruch{1}{2u} \ du}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{x=0}^{x=k}{\bruch{1}{u} \ du}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \left[ \ln \left| u \right| \ \right]_{x=0}^{x=k}$
[/mm]
Re-Substitution:
$= \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \left[ \ln \left| x^2 + k^2 \right| \ \right]_{0}^{k}$
[/mm]
Damit hast du genau das Ergebnis von Bastiane.
Nun alle Klarheiten beseitigt? 
Gruß
Loddar
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