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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:22 Di 14.12.2004 | | Autor: | Hila |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frage lautet:
Welche ganzrationale Funktion 4. Grades hat im Koordinatenursprung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente, schneidet die X-Achse im Punkt P (2/0) und schließt mit der X-Achse eine Fläche mit dem Flächeninhalt 8 ein?
Wenn ein Graph eine waagerechte Tangente hat, kann man den Punkt doch als Sattelpunkt ansehen, oder?
Was müsste man denn da nun zuerst berechnen und wie sieht der Lösungsweg aus?
Würde mich über tatkräftige Hilfe sehr freuen.
Hila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Di 14.12.2004 | | Autor: | JanSu |
Hallo Hila.
Gesucht ist ein Polynom 4.Grades:
f(x) = [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e; [/mm] mit
f'(x) = [mm] 4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d
[/mm]
f''(x) = [mm] 12ax^{2}+6bx+2c [/mm]
f'''(x) = 24ax + 6b
F(x) = [mm] \integral [/mm] {f(x) dx}
Aus deinen Angaben kann man nun mit Hilfe der Ableitungen 5 Gleichungen aufstellen.
Ich bin mir nicht ganz sicher (und bitte darum das zu bestätigen bzw. als falsch kennzuzeichnen!  ), ob Wendepunkt im Koordinatenursprung gleich heißt, dass der Wendepunkt die Koordinaten (0,0) hat.
Für den Fall, dass das so ist, hier 5 Gleichungen:
(1) 0 = e
(2) 0 = [mm] a2^{4}+b2^{3}+c2^{2}+d2+e [/mm]
(3) 0 = 24ax + 6b
(4) 0 = d
(5) [mm] \integral_{a}{b} {ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e dx} [/mm] = 8;
wobei die Integralgrenzen Nullstellen der Funktion sein müßen.
Das ist erstens nur ein Ansatz und zweitens hab ich die Aufgabe bloß überflogen (Zeitmangel), also können sich leicht Fehler eingeschlichen haben, das prinzipielle Vorgehen (Für n Unbekannte n Gleichungen aufstellen und auflösen) ist aber sicher richtig.
MfG,
- JanSu
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