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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Di 01.02.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo.
Es soll bei der Funktionsgleichung f(x) = [mm] x^3-6x+9x [/mm] und g(x)= - [mm] \bruch{1}{2}x^2+2x [/mm] der Flächeninhalt im Intervall [0;4] errechnet werden.
1. Schritt
f(x) = g(x)
um auf die Schnittpunkte zu kommen.
dann ergibt sich eine neue Funktionsgleichung, die man zum integrieren benutzen kann:
h(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] \bruch{11}{2}x^2+7x
[/mm]
und die Schnittpunkte
[mm] x_{1} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = 2
[mm] x_{3} [/mm] = 3,5
Bis hier hin noch definitiv richtig.
2. Schritt & Frage
Flächeninhalte ausrechnen (Hinweis: Mir ist bewusst, da fehlen die Betragsstriche)
[mm] A_{1}=\integral_{0}^{2} [/mm] h(x) dx= [ [mm] \bruch{x^4}{4}- \bruch{11x^3}{6}+ \bruch{7x^2}{2}]_{0}^{2} [/mm] = [mm] \bruch{10}{3}
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] A_{2}=\integral_{2}^{3,5} [/mm] h(x) dx= [ [mm] \bruch{x^4}{4}- \bruch{11x^3}{6}+ \bruch{7x^2}{2}]_{2}^{3,5} \approx [/mm] 1,558
[mm] A_{3}=\integral_{3,5}^{4} [/mm] h(x) dx= [ [mm] \bruch{x^4}{4}- \bruch{11x^3}{6}+ \bruch{7x^2}{2}]_{3,5}^{4} [/mm] = 0,88
1) Hier bin ich mir nicht sicher, muss ich nun in die Stammfunktion 3,5 einsetzen und das abziehen? So habe ich es hier gemacht.
Oder
2) Muss ich [mm] \integral_{2}^{3,5} [/mm] h(x) dx + [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] h(x) dx davon abziehen?
Also noch mal zur Verdeutlichung: Mein Problem besteht darin, dass mich die Nullstellen/Schnittpunkte irritieren.
Inwiefern berechne ich: [mm] \integral_{3,5}^{4} [/mm] h(x) dx
Was ist mit diesen 3,5 gemeint? Der Flächeninhalt der Funktion bis 3,5 oder einfach nur F(3,5)?
3. Schritt
Nur der Vollständigkeitshalber:
[mm] A_{1}+A_{2}+A_{3}=A_{gesamt}
[/mm]
Liebe Grüße Disap
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Hallo Disap,
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> Es soll bei der Funktionsgleichung f(x) = [mm]x^3-6x\red{^2}+9x[/mm] und
> g(x)= - [mm]\bruch{1}{2}x^2+2x[/mm] der Flächeninhalt im Intervall
> [0;4] errechnet werden.
>
> 1. Schritt
> f(x) = g(x)
>
> um auf die Schnittpunkte zu kommen.
> dann ergibt sich eine neue Funktionsgleichung, die man zum
> integrieren benutzen kann:
> h(x) = [mm]x^3[/mm] - [mm]\bruch{11}{2}x^2+7x[/mm]
> und die Schnittpunkte
> [mm]x_{1}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = 2
> [mm]x_{3}[/mm] = 3,5
>
> Bis hier hin noch definitiv richtig.
>
> 2. Schritt & Frage
>
> Flächeninhalte ausrechnen (Hinweis: Mir ist bewusst, da
> fehlen die Betragsstriche)
>
> [mm]A_{1}=\integral_{0}^{2}[/mm] h(x) dx= [ [mm]\bruch{x^4}{4}- \bruch{11x^3}{6}+ \bruch{7x^2}{2}]_{0}^{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{10}{3}[/mm]
>
> [mm]A_{2}=\integral_{2}^{3,5}[/mm] h(x) dx= [ [mm]\bruch{x^4}{4}- \bruch{11x^3}{6}+ \bruch{7x^2}{2}]_{2}^{3,5} \approx 1,558 [/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
besser: $ [mm] -\bruch{99}{64}$ [/mm] vor allem negativ!!
> [mm]A_{3}=\integral_{3,5}^{4}[/mm] h(x) dx= [ [mm]\bruch{x^4}{4}- \bruch{11x^3}{6}+ \bruch{7x^2}{2}]_{3,5}^{4}[/mm]
= 0,88 besser: [mm] $\bruch{169}{192}$
[/mm]
>
> 1) Hier bin ich mir nicht sicher, muss ich nun in die
> Stammfunktion 3,5 einsetzen und das abziehen? So habe ich
> es hier gemacht.
du hast doch bisher so gerechnet, warum zweifelst du nun?! ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Regel: [mm] $F(\mbox{obere Grenze}) [/mm] - [mm] F(\mbox{untere Grenze}) [/mm] $ wo ist das Problem?!
> Oder
>
> 2) Muss ich [mm]\integral_{2}^{3,5}[/mm] h(x) dx +
> [mm]\integral_{0}^{2}[/mm] h(x) dx davon abziehen?
>
>
> Also noch mal zur Verdeutlichung: Mein Problem besteht
> darin, dass mich die Nullstellen/Schnittpunkte irritieren.
>
> Inwiefern berechne ich: [mm]\integral_{3,5}^{4}[/mm] h(x) dx
> Was ist mit diesen 3,5 gemeint? Der Flächeninhalt der
> Funktion bis 3,5 oder einfach nur F(3,5)?
>
> 3. Schritt
> Nur der Vollständigkeitshalber:
>
> [mm]|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|=A_{gesamt}[/mm]
Du musst hier Beträge setzen, weil ja die mittlere Fläche unter der x-Achse liegt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:38 Mi 02.02.2005 | | Autor: | dominik |
Es geht ja bei dieser Aufgabe um den Inhalt von Flächen, die zwischen zwei Kurven liegen. Da integriert man im betreffenden Teilintervall "obere Kurve minus untere Kurve". Mit dieser Überlegung braucht man sich um die Vorzeichen der Teilflächen keine Sorgen zu machen!
[mm]A = \integral_{0}^{2}{[f(x)-g(x)] dx}+\integral_{2}^{3.5}{[g(x)-f(x)] dx}+\integral_{3.5}^{4}{[f(x)-g(x)] dx}[/mm]
Dabei sind [mm]f(x)-g(x)=h(x)[/mm] und [mm]g(x)-f(x)=-h(x)[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Disap |
Hallo.
Erst einmal recht herzlichen Dank für die Antwort von euch und natürlich auch den anderen, die z.B. in den Fragen-Strang einen Blick hineingeworfen haben.
> du hast doch bisher so gerechnet, warum zweifelst du nun?!
>
> Regel: [mm]F(\mbox{obere Grenze}) - F(\mbox{untere Grenze}) [/mm]
> wo ist das Problem?!
Ich habe das Thema anscheinend nicht verstanden, denn für mich würde es mehr Sinn machen, wenn man den Flächeninhalt bis 3,5 errechnet und dann von F(4) abzieht.
Dann muss ich mich wohl noch einmal mit dem Thema auseinandersetzen.
Grüße Disap
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