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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:59 Fr 14.12.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Sei [mm] $k\in L_2([0,1]^2)$, [/mm] so dass $k(x,y)=0$, falls $x<y$ und $k$ beschränkt ist mit [mm] $c=\lVert k\rVert_{\infty}$. [/mm] Definiere den Integraloperator
[mm] $T_kf(x)=\int\limits_{0}^{1}k(x,y)f(y)\, [/mm] dy$.
1.) Zeige, dass für derartige Kerne gilt: [mm] $T_{k_1}\circ T_{k_2}=T_{\overline{k}}$ [/mm] für einen weiteren Kern [mm] $\overline{k}$.
[/mm]
2.) Zeige weiter, dass für Kern [mm] $k_n$ [/mm] von [mm] $(T_k)^n$ [/mm] gilt: [mm] $\lvert k_{n+1}(x,y)\rvert\leq c^{n+1}/ (n!)(x-y)^n\chi_{(y,1)}(x)$. [/mm] |
Hallo, liebe MathematikerINNEN. 
Mein Ansatz zu 1.) sieht so aus:
[mm] $(T_{k_1}\circ T_{k_2})(f(x))=T_{k_1}\left(\underbrace{\int\limits_{0}^{1}k_2(x,y)f(y)\, dy}_{=:g(x)}\right)=\int\limits_0^1 k_1(x,y)g(y)\, dy=\int\limits_0^1 k_1(x,y)\left(\int\limits_0^1 k_2(y,y)f(y)\, dy\right)\, [/mm] dy$
Stimmt das - und falls ja, wie kann man weitermachen?
Liebe Grüße
mikexx
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 16.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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