Integralkriterium für Reihenko < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{ln(k)}{k^{2}}
[/mm]
Untersuchen Sie die Reihenkonvergenz mit Hilfe des Integralkriteriums. |
(Prüfung der Voraussetzungen lasse ich weg, das ist o.k.).
Ich habe die Aufgabe mit Produktintegration gelöst:
u' = [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] v = ln(x)
und erhalte dasselbe Ergebnis wie in der Lösung angegeben.
Die angebene Lösung löst mit Integration durch Substituion und diesen Lösungsweg verstehe ich nicht:
[mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{\bruch{u*x}{x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{u*e^{-u} du}
[/mm]
--- hier denke ich, dass im zweiten Term im Zähler das "x" weggehört ---
Substitution
1) u = ln(x) [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] e^{u}
[/mm]
2) [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] dx = x du
3) Grenzen: ln(2), ln(y)
= [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}([-u*e^{-u} [/mm] - [mm] e^{-u}] [/mm] von ln(2) bis ln(y)) --- diese Zeile verstehe ich nicht, wie kommt man darauf? ---
= [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}(-ln(y)*e^{-ln(y)}-e^{-ln(y)}+ln(2)*e^{-ln(2)}+e^{-ln(2)}]
[/mm]
= [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}(-\bruch{ln(y)}{y}-\bruch{1}{y}+\bruch{ln(2)}{2}+\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(ln(2)+1)
[/mm]
Nach der Regel von L'Hospital geht der erste und der zweite Summand gegen 0.
Damit existiert auch der Reihengrenzwert.
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> Gegeben sei die Reihe
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{ln(k)}{k^{2}}[/mm]
>
> Untersuchen Sie die Reihenkonvergenz mit Hilfe des
> Integralkriteriums.
> (Prüfung der Voraussetzungen lasse ich weg, das ist
> o.k.).
>
> Ich habe die Aufgabe mit Produktintegration gelöst:
> u' = [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm] v = ln(x)
> und erhalte dasselbe Ergebnis wie in der Lösung
> angegeben.
>
> Die angebene Lösung löst mit Integration durch
> Substituion und diesen Lösungsweg verstehe ich nicht:
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{\bruch{u*x}{x^{2}} dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da die Integrationsvariable immer noch x heißt, bleiben die Grenzen bei 2 und [mm] \infty.
[/mm]
.......................................................
A. Vergleichen wir mal die Integranden:
[mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \bruch{u*x}{x^{2}} [/mm] dx.
Das passt zur Substitution ln(x)=u*x, also u = [mm] \bruch{ln(x)}{x}, [/mm] wobei bei x=2 u=ln(2)/2 und bei [mm] x=\infty [/mm] u=0 wird.
Es folgt [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1/x * x - ln(x)*1}{x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{ln(x)}{x^2} \Rightarrow
[/mm]
du = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] dx [mm] -\bruch{ln(x)}{x^2} [/mm] dx
oder [mm] \bruch{ln(x)}{x^2} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] dx - du
Damit wird [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx}[/mm] = [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x^{2}} dx}[/mm] - [mm]\integral_{ln(2)/2}^{0}{ du}[/mm] = [mm] -1/x|_2^{\infty}-u|_{ln(2)/2}^0= [/mm] 1/2 + ln(2)/2 wie bei dir unten.
.............................................
B. Setzen wir mal u = ln(x).
Dann ist für x=2 u=ln(2) und für [mm] x=\infty [/mm] u = [mm] \infty.
[/mm]
Damit wird [mm] \bruch{du}{dx}=1/x, [/mm] also du*x=dx und damit
[mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \bruch{u}{x^{2}} [/mm] dx = [mm] \bruch{u}{x^{2}} [/mm] x*du = [mm] \bruch{ux}{x^{2}} [/mm] du = [mm] \bruch{u}{x} [/mm] du = [mm] \bruch{u}{e^u} [/mm] du = [mm] ue^{-u} [/mm] du
und damit korrekt weiter ...
> =
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{u*e^{-u} du}[/mm]
Beim Integral davor war also nur das dx falsch, es hätte du heißen müssen. Oder - wie bei A. - die Substitution war eine andere, dann waren die Integrationsgrenzen falsch.
>
> --- hier denke ich, dass im zweiten Term im Zähler das "x"
> weggehört ---
Nein, s.o.
>
> Substitution
> 1) u = ln(x) [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]e^{u}[/mm]
> 2) [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x} \Rightarrow[/mm] dx = x
> du
> 3) Grenzen: ln(2), ln(y)
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}([-u*e^{-u}[/mm] - [mm]e^{-u}][/mm] von
> ln(2) bis ln(y)) --- diese Zeile verstehe ich nicht, wie
> kommt man darauf? ---
Habe ich oben erklärt, jeweils hinter der Substitution. Auf lim kann man eigentlich verzichten, oder man müsste schon beim Ausgangsintegral statt mit [mm] \infty [/mm] mit einem lim arbeiten.
>
> =
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}(-ln(y)*e^{-ln(y)}-e^{-ln(y)}+ln(2)*e^{-ln(2)}+e^{-ln(2)}][/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}(-\bruch{ln(y)}{y}-\bruch{1}{y}+\bruch{ln(2)}{2}+\bruch{1}{2})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}(ln(2)+1)[/mm]
>
> Nach der Regel von L'Hospital geht der erste und der zweite
> Summand gegen 0.
> Damit existiert auch der Reihengrenzwert.
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| Aufgabe | Gegeben sei die Reihe
> $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{ln(k)}{k^{2}} [/mm] $
>
> Untersuchen Sie die Reihenkonvergenz mit Hilfe des
> Integralkriteriums. |
> Ich habe die Aufgabe mit Produktintegration gelöst:
> u' = $ [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ v = ln(x)
> und erhalte dasselbe Ergebnis wie in der angegebenen Lösung.
>
> Die angegebene Lösung löst mit Integration durch
> Substituion und diesen Lösungsweg verstehe ich nicht.
Hier der angegebene Lösungsweg:
--- darin enthalten die Antwort, die ich erhalten, aber noch nicht verstanden habe, und meine erneute Frage dazu ---
>
> $ [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx} [/mm] $ =
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{\bruch{u\cdot{}x}{x^{2}} dx} [/mm] $
Da die Integrationsvariable immer noch x heißt, bleiben die Grenzen bei 2 und $ [mm] \infty. [/mm] $
.......................................................
A. Vergleichen wir mal die Integranden:
$ [mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{u\cdot{}x}{x^{2}} [/mm] $ dx.
Das passt zur Substitution ln(x)=u*x, also u = $ [mm] \bruch{ln(x)}{x}, [/mm] $ wobei bei x=2 u=ln(2)/2 und bei $ [mm] x=\infty [/mm] $ u=0 wird.
Es folgt $ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1/x \cdot{} x - ln(x)\cdot{}1}{x^2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{ln(x)}{x^2} \Rightarrow [/mm] $
du = $ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] $ dx $ [mm] -\bruch{ln(x)}{x^2} [/mm] $ dx
oder $ [mm] \bruch{ln(x)}{x^2} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] $ dx - du
Damit wird $ [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x^{2}} dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{ln(2)/2}^{0}{ du} [/mm] $ = $ [mm] -1/x|_2^{\infty}-u|_{ln(2)/2}^0= [/mm] $ 1/2 + ln(2)/2 wie bei dir unten.
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Lösungsweg A entspricht doch nicht dem angegebenen Lösungsweg, da im angegebenen Lösungsweg substituiert wird mit: u = ln(x) (siehe unten).
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.............................................
B. Setzen wir mal u = ln(x).
Dann ist für x=2 u=ln(2) und für $ [mm] x=\infty [/mm] $ u = $ [mm] \infty. [/mm] $
Damit wird $ [mm] \bruch{du}{dx}=1/x, [/mm] $ also du*x=dx und damit
$ [mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{u}{x^{2}} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{u}{x^{2}} [/mm] $ x*du = $ [mm] \bruch{ux}{x^{2}} [/mm] $ du = $ [mm] \bruch{u}{x} [/mm] $ du = $ [mm] \bruch{u}{e^u} [/mm] $ du = $ [mm] ue^{-u} [/mm] $ du
und damit korrekt weiter ...
> =
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{u\cdot{}e^{-u} du} [/mm] $
Beim Integral davor war also nur das dx falsch, es hätte du heißen müssen. Oder - wie bei A. - die Substitution war eine andere, dann waren die Integrationsgrenzen falsch.
>
> --- hier denke ich, dass im zweiten Term im Zähler das "x"
> weggehört ---
Nein, s.o.
>
> Substitution
> 1) u = ln(x) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x = $ [mm] e^{u} [/mm] $
> 2) $ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] $ dx = x du
> 3) Grenzen: ln(2), ln(y)
>
> = $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}([-u\cdot{}e^{-u} [/mm] $ - $ [mm] e^{-u}] [/mm] $ von
> ln(2) bis ln(y)) --- diese Zeile verstehe ich nicht, wie
> kommt man darauf? ---
Habe ich oben erklärt, jeweils hinter der Substitution.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Meine erneute Frage dazu:
Ich verstehe auch nach der erhaltenen Antwort immer noch nicht folgende Gleichung:
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
$ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{u\cdot{}e^{-u} du} [/mm] $
= $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}([-u\cdot{}e^{-u} [/mm] $ - $ [mm] e^{-u} [/mm] $ [mm] ]_{ln(2)}^{ln(y)} [/mm] )
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Auf lim kann man eigentlich verzichten, oder man müsste schon beim Ausgangsintegral statt mit $ [mm] \infty [/mm] $ mit einem lim arbeiten.
>
> =
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}(-ln(y)\cdot{}e^{-ln(y)}-e^{-ln(y)}+ln(2)\cdot{}e^{-ln(2)}+e^{-ln(2)}] [/mm] $
>
> =
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}(-\bruch{ln(y)}{y}-\bruch{1}{y}+\bruch{ln(2)}{2}+\bruch{1}{2}) [/mm] $
> = $ [mm] \bruch{1}{2}(ln(2)+1) [/mm] $
>
> Nach der Regel von L'Hospital geht der erste und der zweite
> Summand gegen 0.
> Damit existiert auch der Reihengrenzwert.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Mo 27.12.2021 | | Autor: | statler |
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> Meine erneute Frage dazu:
> Ich verstehe auch nach der erhaltenen Antwort immer noch
> nicht folgende Gleichung:
> :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{u\cdot{}e^{-u} du}[/mm]
>
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}([-u\cdot{}e^{-u}[/mm] - [mm]e^{-u}]_{ln(2)}^{ln(y)})[/mm]
> :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
$F(u) = [mm] -u\cdot{}e^{-u} [/mm] - [mm] e^{-u}$ [/mm] ist eine Stammfunktion zu $f(u) = [mm] u\cdot{}e^{-u}$,
[/mm]
was man durch partielle Integration herleiten oder durch Ableiten direkt beweisen kann.
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| Aufgabe | > Gegeben sei die Reihe
> $ [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{ln(k)}{k^{2}} [/mm] $
>
> Untersuchen Sie die Reihenkonvergenz mit Hilfe des
> Integralkriteriums. |
> Ich selbst habe die Aufgabe mit Produktintegration gelöst:
> u' = $ [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] $ v = ln(x)
> und erhalte dasselbe Ergebnis wie in der angegeben Lösung.
>
> Die angebene Lösung löst mit Integration durch
> Substituion und diesen Lösungsweg verstehe ich nicht:
Ich habe zwei Fragen zu der der Aufgabenstellung beigefügten Lösung:
(1) die beigefügte Lösung arbeitet zuerst mit Substitution, dann, innerhalb dessen, mit partieller Integration.
Warum arbeitet sie nicht gleich mit partieller Integration, so wie auch mein Lösungsweg war (s.o.)? (Das wäre doch weniger Aufwand).
(2) Für die Anwendung der Integration mit Substitution finde ich überalll nur die folgende Formel:
Bei der Integration durch Substitution wendet man die folgende Integrationsformel an:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}
[/mm]
Auch in der zugehörigen Vorlesung wurde diese Formel gegeben.
Der Term
$ [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx} [/mm] $
hat doch nicht die in der Substitutionsformel angegebene Form.
Warum kann ich hier trotzdem mit Substitution arbeiten?
Wie lautet die allgemeinere Formel für Integration durch Sustitution, die hier zugrunde gelegt wird und die mir nicht bekannt ist?
[ Auch in der ersten Antwort auf meine Frage wurde wohl diese allgemeinere Formel benutzt:
In Antwortsteil A. mit der Substitution: ln(x)=u*x, also u = $ [mm] \bruch{ln(x)}{x}, [/mm] $
In Antwortsteil B. mit der Substitution: u = ln(x) ].
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Hier folgt die zur Aufgabenstellung gegebene Lösung zusammen mit der ersten Antwort auf meine Frage mit Teil A. und Teil B.:
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>
> $ [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx} [/mm] $ =
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{\bruch{u\cdot{}x}{x^{2}} dx} [/mm] $
Da die Integrationsvariable immer noch x heißt, bleiben die Grenzen bei 2 und $ [mm] \infty. [/mm] $
.......................................................
A. Vergleichen wir mal die Integranden:
$ [mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{u\cdot{}x}{x^{2}} [/mm] $ dx.
Das passt zur Substitution ln(x)=u*x, also u = $ [mm] \bruch{ln(x)}{x}, [/mm] $ wobei bei x=2 u=ln(2)/2 und bei $ [mm] x=\infty [/mm] $ u=0 wird.
Es folgt $ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1/x \cdot{} x - ln(x)\cdot{}1}{x^2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{ln(x)}{x^2} \Rightarrow [/mm] $
du = $ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] $ dx $ [mm] -\bruch{ln(x)}{x^2} [/mm] $ dx
oder $ [mm] \bruch{ln(x)}{x^2} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] $ dx - du
Damit wird $ [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{x^{2}} dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{ln(2)/2}^{0}{ du} [/mm] $ = $ [mm] -1/x|_2^{\infty}-u|_{ln(2)/2}^0= [/mm] $ 1/2 + ln(2)/2 wie bei dir unten.
.............................................
B. Setzen wir mal u = ln(x).
Dann ist für x=2 u=ln(2) und für $ [mm] x=\infty [/mm] $ u = $ [mm] \infty. [/mm] $
Damit wird $ [mm] \bruch{du}{dx}=1/x, [/mm] $ also du*x=dx und damit
$ [mm] \bruch{ln(x)}{x^{2}} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{u}{x^{2}} [/mm] $ dx = $ [mm] \bruch{u}{x^{2}} [/mm] $ x*du = $ [mm] \bruch{ux}{x^{2}} [/mm] $ du = $ [mm] \bruch{u}{x} [/mm] $ du = $ [mm] \bruch{u}{e^u} [/mm] $ du = $ [mm] ue^{-u} [/mm] $ du
und damit korrekt weiter ...
> = $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{u\cdot{}e^{-u} du} [/mm] $
Beim Integral davor war also nur das dx falsch, es hätte du heißen müssen. Oder - wie bei A. - die Substitution war eine andere, dann waren die Integrationsgrenzen falsch.
>
> --- hier denke ich, dass im zweiten Term im Zähler das "x"
> weggehört ---
Nein, s.o.
>
> Substitution
> 1) u = ln(x) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ x = $ [mm] e^{u} [/mm] $
> 2) $ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] $ dx = x du
> 3) Grenzen: ln(2), ln(y)
>
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}\integral_{ln(2)}^{ln(y)}{u\cdot{}e^{-u} du} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}([-u\cdot{}e^{-u} [/mm] $ - $ [mm] e^{-u}] [/mm] $ von ln(2) bis ln(y)) --- hier wird innerhalb der Substitution die partielle Integration benutzt ---
Auf lim kann man eigentlich verzichten, oder man müsste schon beim Ausgangsintegral statt mit $ [mm] \infty [/mm] $ mit einem lim arbeiten.
>
> =
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}(-ln(y)\cdot{}e^{-ln(y)}-e^{-ln(y)}+ln(2)\cdot{}e^{-ln(2)}+e^{-ln(2)}] [/mm] $
>
> =
> $ [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}(-\bruch{ln(y)}{y}-\bruch{1}{y}+\bruch{ln(2)}{2}+\bruch{1}{2}) [/mm] $
> = $ [mm] \bruch{1}{2}(ln(2)+1) [/mm] $
>
> Nach der Regel von L'Hospital geht der erste und der zweite
> Summand gegen 0.
> Damit existiert auch der Reihengrenzwert.
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> Ich habe zwei Fragen zu der der Aufgabenstellung
> beigefügten Lösung:
> (1) die beigefügte Lösung arbeitet zuerst mit
> Substitution, dann, innerhalb dessen, mit partieller
> Integration.
> Warum arbeitet sie nicht gleich mit partieller
> Integration, so wie auch mein Lösungsweg war (s.o.)?
> (Das wäre doch weniger Aufwand).
>
> (2) Für die Anwendung der Integration mit Substitution
> finde ich überalll nur die folgende Formel:
>
> Bei der Integration durch Substitution wendet man die
> folgende Integrationsformel an:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}[/mm]
>
> Auch in der zugehörigen Vorlesung wurde diese Formel
> gegeben.
>
> Der Term
>
> [mm]\integral_{2}^{\infty}{\bruch{ln(x)}{x^{2}} dx}[/mm]
>
> hat doch nicht die in der Substitutionsformel angegebene
> Form.
> Warum kann ich hier trotzdem mit Substitution arbeiten?
> Wie lautet die allgemeinere Formel für Integration durch
> Sustitution, die hier zugrunde gelegt wird und die mir
> nicht bekannt ist?
Zu (1):
Es gibt, wie du ja an deiner und meiner Rechnung gesehen hast, mehrere verschiedene Wege zur Berechnung des Integrals.
Deine Lösung ist die schnellste (wenn man sie sieht), weil zur Substitution noch immer die Grenzen transformiert werden müssen.
Manchmal merkt man, dass die Substitution oder die partielle Integration noch nicht zum Ziel führt, und es sind noch weitere Schritte zur Lösung nötig, z.B. weitere Substitution, part. Integration oder eine Kombination davon.
Zu (2):
Die Formel stimmt, ist aber oft einfach unbrauchbar. So kann man z.B. beim Integranden [mm] x*e^{x^2} [/mm] sofort sehen, dass x die innere Ableitung von [mm] x^2 [/mm] (bis auf Faktor 1/2) ist. Aber bei [mm] ln(x)/x^2 [/mm] ist [mm] 1/x^2 [/mm] nicht die Ableitung von ln(x). Man probiert(!) gezielt herum, ob man eine geeignete Substitution findet, mit der man das Problem lösen kann.
Ich hänge dir hier eine Ausarbeitung an, die ich vor Jahren für meine Schüler erstellt habe. Steig bitte nicht in der Mitte beim 3. Beispiel ein, sondern lies dir auch den "harmlosen" Einstieg bis dahin durch, bis du alles verstanden hast. Wenn du dann die Aufgaben selber lösen kannst oder zumindest die Lösungswege nachvollziehen kannst, bist du anschließend ziemlich fit. Es dauert etwas, lohnt sich aber unbedingt. Physiker gehen nur so vor, weil sie sonst mit der angegebenen Formel gar nicht weiter kommen.
Melde dich, falls du Fragen zu den Ausführungen hast.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") 1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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