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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:55 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | | Überprüfe das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz und berechne ggf. den Wert! [mm] \int_{0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(x)}\, dx[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
ICh weiß, dass eine Reihe konvergiert, wenn das Integral einen endlichen Wert annnimmt.
Ich bekomme für das Integral nach Umschreiben von Cosh(x) in [mm]1/2 * (e^x+e^-x)[/mm] und Substitution u= [mm] e^x [/mm] diese Stammfunktion heraus: [mm]2*arctan(e^{x})[/mm] Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze [mm]2*arctan(e^\infty)-2*arctan(e^0)[/mm] erhalte ich [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] als Ergebnis
Kann ich nun im Umkehrschluss auch sagen, dass die Reihe gegen [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] konvergiert?
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> Überprüfe das folgende uneigentliche Integral auf
> Konvergenz und berechne ggf. den Wert! [mm]\int_{0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(x)}\, dx[/mm]
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> Ich weiß, dass eine Reihe konvergiert, wenn das Integral
> einen endlichen Wert annnimmt.
>
> Ich bekomme für das Integral nach Umschreiben von Cosh(x)
> in [mm]1/2 * (e^x+e^-x)[/mm] und Substitution u= [mm]e^x[/mm] diese
> Stammfunktion heraus: [mm]2*arctan(e^{x})[/mm] Wenn ich jetzt die
> Grenzen einsetze [mm]2*arctan(e^\infty)-2*arctan(e^0)[/mm] erhalte
> ich [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] als Ergebnis
>
> Kann ich nun im Umkehrschluss auch sagen, dass die Reihe
> gegen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] konvergiert?
Welche Reihe ??
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(k)}[/mm]
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[mm]\frac{1}{\cosh 0} + \frac{1}{\cosh 1} = 1 + \frac{2}{e + e^{-1}} > 1 + \frac{2}{2{,}8 + 0{,}4} = 1 + \frac{20}{32} = 1 + \frac{5}{8} = 1{,}625 > \frac{\pi}{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
Das Ergebnis des Integrals sagt mir aber schon, dass die Reihe konvergiert, auch wenn nicht gegen den Wert Pi/2 ?
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> Das Ergebnis des Integrals sagt mir aber schon, dass die
> Reihe konvergiert, auch wenn nicht gegen den Wert Pi/2 ?
Dass sie konvergiert: ja
(im Detail müsste man dazu aber etwa noch Monotonie-
überlegungen einbringen)
LG
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(k)}[/mm]
Dies ist eine Obersumme O des Integrals $\ I\ = [mm] \int_{0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(x)}\, [/mm] dx $
[mm]U:=\ \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{cosh(k+1)}\ =\ \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{cosh(k)}[/mm]
wäre eine Untersumme.
Es gilt U<I<O , wie man in einer Skizze sehr leicht
erkennen kann.
Und Leopold hat gezeigt, dass schon die ersten zwei
Summanden der Reihe O den Wert von I übertreffen.
LG Al-Chw.
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