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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 18.11.2010 | | Autor: | Delia00 |
Hallo Zusammen,
es geht um folgendes. Wir sollen den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse so berechnen, dass wir zunächst die Nullstellen der Funktion bestimmen.
Nehmen wir mal an, dass [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] Nullstellen von f(x) sind und man soll die Fläche auf dem Intervall I [a,b] berechnen. Dabei sind [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} \in [/mm] I.
Einsetzen der Grenzen, ergibt dann:
[mm] |\integral_{a}^{x_{1}}{f(x) dx}| [/mm] +
[mm] |\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x) dx}| [/mm] +
[mm] |\integral_{x_{2}}^{b}{f(x) dx}|
[/mm]
Müsste aber eigentlich nicht folgendes gelten:
[mm] |\integral_{a}^{x_{1}}{f(x) dx}| [/mm] +
[mm] |\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x) dx}| [/mm] +
[mm] |\integral_{x_{2}}^{b}{f(x) dx}|
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Leider bekomm ich aber nicht das gleiche Ergebnis heraus, wenn ich beides berechne.
Könnte mir bitte jemand erklären, woran die unterschiedlichen Ergebnisse liegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Do 18.11.2010 | | Autor: | glie |
> Hallo Zusammen,
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> es geht um folgendes. Wir sollen den Flächeninhalt
> zwischen Graph und x-Achse so berechnen, dass wir zunächst
> die Nullstellen der Funktion bestimmen.
>
> Nehmen wir mal an, dass [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] Nullstellen von
> f(x) sind und man soll die Fläche auf dem Intervall I
> [a,b] berechnen. Dabei sind [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2} \in[/mm] I.
>
> Einsetzen der Grenzen, ergibt dann:
>
> [mm]|\integral_{a}^{x_{1}}{f(x) dx}|[/mm] +
> [mm]|\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x) dx}|[/mm] +
> [mm]|\integral_{x_{2}}^{b}{f(x) dx}|[/mm]
>
>
> Müsste aber eigentlich nicht folgendes gelten:
>
>
> [mm]|\integral_{a}^{x_{1}}{f(x) dx}|[/mm] +
> [mm]|\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{f(x) dx}|[/mm] +
> [mm]|\integral_{x_{2}}^{b}{f(x) dx}|[/mm]
>
> = [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
>
>
> Leider bekomm ich aber nicht das gleiche Ergebnis heraus,
> wenn ich beides berechne.
>
> Könnte mir bitte jemand erklären, woran die
> unterschiedlichen Ergebnisse liegen?
Hallo,
das [mm] $\integral_{a}^{b}{f(x) dx}$ [/mm] ermittelt die FlächenBILANZ im Intervall [a;b]
Über der x- Achse liegende Flächenstücke sind positiv orientiert, unter der x-Achse liegende Flächenstücke sind negativ orientiert.
Wenn du aber um die Einzelnen Teilintegrale jeweils den Betrag setzt, dann addierst du die jeweiligen positiven Flächeninhalte.
Das ist der Grund, warum das eben nicht gleich ist.
Gruß Glie
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Hallo, als Zusatz
[Dateianhang nicht öffentlich]
berechnest du
[mm] \integral_{0}^{3\pi}{4*sin(x) dx}=8
[/mm]
berechnest du aber die Flächen, so
[mm] |\integral_{0}^{\pi}{4*sin(x) dx}|+|\integral_{\pi}^{2\pi}{4*sin(x) dx}|+|\integral_{2\pi}^{3\pi}{4*sin(x) dx}|=8FE+8FE+8FE=24FE
[/mm]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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