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Forum "Funktionalanalysis" - Integralformel von Cauchy

Integralformel von Cauchy < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Integralformel von Cauchy: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:35 Fr 04.01.2013
Autor:	loggeli

Aufgabe

 Bestimme folgendes Integral mithilfe der Integralformel von Cauchy

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^{2}+1}{z^{3}+4z^{2}} dz

Hallo,

ich möchte gerne das Integral mit der Cauchy'schen Integralformel berechnen.

Hier mein Lösungsansatz

Ich habe den Integranden erstmal so umgeschrieben, dass man die Integralformel anwenden kann.

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^{2}+1}{z^{3}+4z^{2}} dz 
= \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^{2}+1}{z^{2}(z+4)} dz 
= \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1+\frac{1}{z^2}}{z+4} dz

Hierraus lese ich nun ab:

f(z) = 1 + \frac{1}{z^{2}}

z_{0} = - 4

Die Cauchysche Integralformel besagt ja:

\int_{C_{r}} \frac{f(z)}{z-z_{0}} dz = 2\pi i \cdot f(z_{0})

Somit erhalte ich:

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1+\frac{1}{z^2}}{z+4} dz = 2\pi\cdot i \frac{1}{(4)^2}

Meine Frage

Kann man das so machen, oder ist da ein Fehler drin.

Ich freue mich auf eine Antwort :-)

Gruß,
loggeli

Bezug

Integralformel von Cauchy: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:59 Fr 04.01.2013
Autor:	MathePower

Hallo loggeli,

> Bestimme folgendes Integral mithilfe der Integralformel von
> Cauchy
>

> \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^{2}+1}{z^{3}+4z^{2}} dz
>

>
> Hallo,
>
> ich möchte gerne das Integral mit der Cauchy'schen
> Integralformel berechnen.
>
> Hier mein Lösungsansatz
>
> Ich habe den Integranden erstmal so umgeschrieben, dass man
> die Integralformel anwenden kann.
>

> \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^{2}+1}{z^{3}+4z^{2}} dz 
> = \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^{2}+1}{z^{2}(z+4)} dz 
> = \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1+\frac{1}{z^2}}{z+4} dz
>

>
> Hierraus lese ich nun ab:
>

f(z) = 1 + \frac{1}{z^{2}}

z_{0} = - 4

>
> Die Cauchysche Integralformel besagt ja:
>

> \int_{C_{r}} \frac{f(z)}{z-z_{0}} dz = 2\pi i \cdot f(z_{0})
>

>
> Somit erhalte ich:
>

> \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1+\frac{1}{z^2}}{z+4} dz = 2\pi\cdot i \frac{1}{(4)^2}
>

>
> Meine Frage
>
> Kann man das so machen, oder ist da ein Fehler drin.
>

Zerlege den Integranden zunächst in Partialbrüche.

[mm]\frac{z^{2}+1}{z^{3}+4z^{2}}=\bruch{A}{z}+\bruch{B}{z^{2}}+\bruch{C}{z+4}[/mm]

> Ich freue mich auf eine Antwort :-)

>
> Gruß,
>  loggeli

>

Gruss
MathePower

Bezug

Integralformel von Cauchy: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:53 Sa 05.01.2013
Autor:	loggeli

Hi,

vielen Dank für Deine schnelle Antwort... leider bin ich erst jetzt dazu gekommen zu antworten.

Ich hab mal folgendermaßen weitergerechnet:

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^2+1}{z^3+4z^2} dz = -\frac{1}{16}
\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z} dz + \frac{1}{4} \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z^2} dz + \frac{17}{16} \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z+4} dz

Die Teilintegrale habe ich dann so berechnet:

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\cdot e^{it}}\cdot 2i\cdot e^{it} dt = 2\pi\cdot i

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z^2} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{(2\cdot e^{it})^2} \cdot 2i e^{it} dt = \frac{1}{2}i \cdot \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} dt = \frac{1}{2}\cdot (e^{-2i\pi} -1) = 0

Ich bin mir leider nicht sicher, ob das bis dahin ok ist, weil man für das Integral

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z} dz

ja eigentlich die 0 und eine geschlitzte Ebene entfernen müsste.

Für das letzte Integral

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z+4} dz

würde ich dann die Cauchy Integralformel anwenden wollen mit

f(z) = 1, z_{0}=-4

. Allerdings geht der Kreis mit Radius 2 ja um 0 und somit sollte [mm] z_{0}=0 [/mm] sein. Bin da leider grad etwas verwirrt.

Ich hoffe, dass Ihr mir da weiterhelfen könnt und wünsche noch ein schönes Wochende :-)

Beste Grüße,
loggeli

Bezug

Integralformel von Cauchy: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:01 Sa 05.01.2013
Autor:	Richie1401

Hallo,

> Hi,
>
> vielen Dank für Deine schnelle Antwort... leider bin ich
> erst jetzt dazu gekommen zu antworten.
>
> Ich hab mal folgendermaßen weitergerechnet:
>

> \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{z^2+1}{z^3+4z^2} dz = -\frac{1}{16}
>  \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z} dz + \frac{1}{4} \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z^2} dz + \frac{17}{16} \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z+4} dz
>

>
> Die Teilintegrale habe ich dann so berechnet:
>

> \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\cdot e^{it}}\cdot 2i\cdot e^{it} dt = 2\pi\cdot i
>

Richtig.
>
>

> \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z^2} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{(2\cdot e^{it})^2} \cdot 2i e^{it} dt = \frac{1}{2}i \cdot \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{e^{it}} dt = \frac{1}{2}\cdot (e^{-2i\pi} -1) = 0
>

Richtig
>
> Ich bin mir leider nicht sicher, ob das bis dahin ok ist,
> weil man für das Integral

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z} dz

> ja eigentlich die 0 und eine geschlitzte Ebene entfernen
> müsste.
>
> Für das letzte Integral

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{1}{z+4} dz

> würde ich dann die Cauchy Integralformel anwenden wollen

Das geht nicht. Grund: -4 liegt nicht auf der Kreisschreibe [mm] K_{2}(0). [/mm]
> mit

f(z) = 1, z_{0}=-4

. Allerdings geht der Kreis mit
> Radius 2 ja um 0 und somit sollte [mm]z_{0}=0[/mm] sein. Bin da
> leider grad etwas verwirrt.

Es gibt sozusagen ein [mm] z_0 [/mm] und ein [mm] z_1. z_1 [/mm] gibt den Kreismittelpunkt an. und das [mm] z_0 [/mm] einen Punkt möglichst auf der Kreisscheibe. Ich habe die Formel so gelernt:

Satz: Sei f holomorph in einem gebiet [mm] G\subset\IC [/mm] und [mm] \overlin{U_R(z_1)}\subset{G}. [/mm] Dann gilt für alle [mm] z_0\in{}U_R(z_1): [/mm]
[mm] \int\limits_{|z-z_1|=R}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi{i}*f(z_0) [/mm]

Die -4 liegt außerhalb der Kreisscheibe. Das Integral ist daher null.

Somit ergibt sich die Lösung zu

[mm] \int_{\partial K_{2}(0)}\frac{z^{2}+1}{z^{3}+4z^{2}}dz=-\frac{\pi{}i}{8} [/mm]
>
> Ich hoffe, dass Ihr mir da weiterhelfen könnt und wünsche
> noch ein schönes Wochende :-)

>
> Beste Grüße,
> loggeli

Bezug

Integralformel von Cauchy: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	10:55 So 06.01.2013
Autor:	loggeli

Hi,

danke für die Hilfe. Hab ich das jetzt richtig verstanden, dass man die Cauchy Integralformel nur dann anwenden kann, wenn man eine geschlossene Kurve und einen Integranden hat, der genau einen Pol hat? Wenn dieser Pol nicht innerhalb der Kurve liegt ergibt das Integral automatisch 0.

Um das nochmal zu üben, habe ich mir ein weiteres Integral rausgesucht

\int_{\partial K_{2}(0)} \frac{e^{z}}{z(z+3i)^{3}} dz

Hier liegt ja ein Pol bei

z=0

und einer bei

z=-3i

. Da

z=-3i

nicht im Kreis mit Radius 2 um z=0 liegt, muss man wieder eine Partialbruchzerlegung vornehmen.

\frac{e^{z}}{z(z+3i)^3} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z+3i} + \frac{C}{(z+3i)^2} + \frac{D}{(z+3i)^3}

Ist der Ansatz so korrekt, oder ist es möglich das Integral auch einfacher zu lösen?

Gruss,
loggeli

Bezug

Integralformel von Cauchy: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:18 So 06.01.2013
Autor:	fred97

> Hi,
>
> danke für die Hilfe. Hab ich das jetzt richtig verstanden,
> dass man die Cauchy Integralformel nur dann anwenden kann,
> wenn man eine geschlossene Kurve und einen Integranden hat,
> der genau einen Pol hat? Wenn dieser Pol nicht innerhalb
> der Kurve liegt ergibt das Integral automatisch 0.
>
> Um das nochmal zu üben, habe ich mir ein weiteres Integral
> rausgesucht
>

> \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{e^{z}}{z(z+3i)^{3}} dz
>

>
> Hier liegt ja ein Pol bei

z=0

und einer bei

z=-3i

. Da

z=-3i

> nicht im Kreis mit Radius 2 um z=0 liegt, muss man wieder
> eine Partialbruchzerlegung vornehmen.
>

> \frac{e^{z}}{z(z+3i)^3} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z+3i} + \frac{C}{(z+3i)^2} + \frac{D}{(z+3i)^3}
>

>
> Ist der Ansatz so korrekt, oder ist es möglich das
> Integral auch einfacher zu lösen?

Ja, setze [mm] f(z):=\frac{e^{z}}{(z+3i)^3}. [/mm]

Dann ist


$ [mm] \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{e^{z}}{z(z+3i)^{3}} [/mm] dz $=$ [mm] \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{f(z)}{z} [/mm] dz $

Mit der Integralformel bekommen wir:

$ [mm] \int_{\partial K_{2}(0)} \frac{e^{z}}{z(z+3i)^{3}} [/mm] dz =2 [mm] \pi [/mm] i f(0)$

FRED
>
> Gruss,
>  loggeli

Bezug

Integralformel von Cauchy: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	11:23 So 06.01.2013
Autor:	loggeli

Hi,

vielen Dank euch allen, ihr habt mir da sehr weitergeholfen. Schönes Wochende noch :-)

Gruß,
loggeli

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

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