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Der Graph der Funktion f(x) = x³ + x² schließt mit der Tangenten an der Stelle 2 und der 1. Achse eine Fläche ein. Berechne den Inhalt.
Also ich hatte mir jetzt erstmal gedacht, dass ich eine Tangentengleichung aufstellen sollte. Nur das gelint mir irgendwie nicht. Die Tangente müsste doch durch den Punkt (2/0) gehen, oder? Dann würde ich die Nullstellen der Funktion und der Tangenten berechnen und die Nullstellen sind ja dann die Intervallgrenzen...
Ist das soweit richtig? Und kann mir jemand helfen die Tangente auszurechen... Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Andi |
Hallo Sternchen,
> Der Graph der Funktion f(x) = x³ + x² schließt mit der
> Tangenten an der Stelle 2 und der 1. Achse eine Fläche ein.
> Berechne den Inhalt.
>
> Also ich hatte mir jetzt erstmal gedacht, dass ich eine
> Tangentengleichung aufstellen sollte. Nur das gelint mir
> irgendwie nicht. Die Tangente müsste doch durch den Punkt
> (2/0) gehen, oder? Dann würde ich die Nullstellen der
Nein, die Tangente muss durch den Punkt (2/f(2)) gehen.
> Funktion und der Tangenten berechnen und die Nullstellen
> sind ja dann die Intervallgrenzen...
>
> Ist das soweit richtig? Und kann mir jemand helfen die
> Tangente auszurechen... Danke
Also .... das ist so nicht richtig, du solltest dir zunächst die Funktion skizieren. Dazu würde ich mir die Funktiongleichung erst faktorisieren:
[mm]f(x)=x^2*(1+x)[/mm]
Damit weißt du nun schon ziehmlich genau wie die Funktion aussieht.
Sie hat eine einfache Nullstelle bei x=-1 (das heißt der Graph komm von links aus dem Minusunendlichen durchschneidet bei x=-1 die x-Achse, dann steigt der Graph weiter und fällt wieder zu x=0, dort ist eine doppelte Nullstelle (wie eine nach oben geöffnete Parabel) das heißt der Graph fällt zur Null und steigt danach wieder an.) 
Wahrscheinlich wäre ein Bild besser als tausend Worte aber ich hoffe, du kannst dir klar machen wie der Graph aussieht.
Dann zeichnest du einfach die Tangente ein und dann siehst du welche Fläche du ausrechnen sollst.
Für die Tangentengleichung musst du die Steigung der Tangente mit
m=f'(2) ausrechnen und das zusammen mit dem Punkt (2/f(2)) in die allgemeine Geradengleichung einsetzen:
y=mx+t
f(2)=f'(2)*2+t
Nun nach t auflösen und du hast m und t für deine Tangentengleichung bestimmt.
Mfg
Andi
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Danke...!
Also meine Tangentengleichung lautet jetzt: y= 16x - 20
Dann habe ich jetzt die Nullstellen von der Funktion und der Tangentengleichung ausgerechnet. x= -1 x=0 und x= 1.25
Das sind dann meine intervallgrenzen.
Somit komm ich auch einen Flächeninhalt von ungefähr 1.345 FE
Ist das richtig?
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Hallo Sternchen!
> Also meine Tangentengleichung lautet jetzt: y= 16x - 20
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> Dann habe ich jetzt die Nullstellen von der Funktion und
> der Tangentengleichung ausgerechnet. x= -1 x=0 und x= 1.25
Auch richtig. Davon benötigst du aber $x \ = \ -1$ nicht.
> Das sind dann meine intervallgrenzen.
> Somit komm ich auch einen Flächeninhalt von ungefähr 1.345 FE
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da solltest Du mal posten, wie Du darauf gekommen bist.
Welche Fläche hast Du denn überhaupt ermittelt?
Meines Erachtens wird folgende Fläche gesucht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich glaube ich weiß wo mein Fehler ist. Ich habe auch noch den Flächeninhalt von -1 bis 0 ausgerechnet!
Wenn ich den jetzt weg lasse komme ich auf einen Flächeninhalt von ca. 1.26 FE.
Ist das jetzt korrekt?
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Hallo Sternchen!
Ich habe ein anderes Ergebnis erhalten. Du musst hier das Integral der Funktion von [mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ bis [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 2$ ermitteln und anschließend das Integral unter der Geraden von [mm] $x_3 [/mm] \ = \ 1.25$ bis [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 2$ wieder abziehen.
Gruß vom
Roadrunner
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auch wenn ich erst den flächeninhalt von 0 bis 2 und dann den von 1,25 bis 2 wieder abziehe komme ich auf einen Inhalt von ca. 1, 26 FE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Sternchen!
Bitte poste doch mal Deinen Rechenweg / Deine Zwischenergebnisse zur Kontrolle.
Gruß vom
Roadrunner
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