Integrale und Differentialform < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 So 08.02.2009 | | Autor: | Wiesel20 |
| Aufgabe | Sei w = [mm] y²xzdx\wedge [/mm] dz. Berechnen Sie
[mm] \integral_{s²}{w}
[/mm]
direkt und mit dem Satz von Stokes. |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich lerne grade für meine Matheprüfung am Donnerstag, und bin auf diese Aufgabe in einer alten Klausur gestoßen, zu der ich leider keine Lösungen habe. Leider bin ich im Umgang mit Differentialformen nicht wirklich bewandert.
Mein Ansatz:
Mit dem Satz von Stokes gilt:
[mm] I=\integral_{s²}{dw }
[/mm]
dw=d(y²xzdx∧dz)
[mm] =\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial y)}*dy\wedge dx\wedge [/mm] dz
[mm] +\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial x)}*dx\wedge dx\wedge [/mm] dz
[mm] +\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial z)}*dz\wedge dx\wedge [/mm] dz
[mm] =\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial y)}*dy\wedge dx\wedge [/mm] dz
[mm] =2yxz*dy\wedge dx\wedge [/mm] dz
(der Rest müsste wegfallen, weil dx^dx =0 ist oder?)
Dann ist mit [mm] s^{2}=\{(x,y,z) \varepsilon\IR^{3}| x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}
[/mm]
[mm] I=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}}}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}{2yxz dy} dx} dz}
[/mm]
Das wäre dann 0.
Hab ich da jetzt nen Fehler drin oder soll da null rauskommen?
Und wie wäre der direkte Weg?
Der geht doch irgendwie über eine sog. Parametrisierung...in diesem Fall eine Parametrisierung des [mm] s^{2}....aber [/mm] wie finde ich eine solche und wie rechne ich dann damit?
Fragen über Fragen...ich hoffe ihr könnt mir da helfen...so langsam verzweifel ich da nämlich weil ich auch keine wirklich guten Bücher dazu finde.
Gruß, und danke schonmal Wiesel 20
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Hallo Wiesel20,
> Sei w = [mm]y²xzdx\wedge[/mm] dz. Berechnen Sie
> [mm]\integral_{s²}{w}[/mm]
> direkt und mit dem Satz von Stokes.
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich lerne grade für meine Matheprüfung am Donnerstag, und
> bin auf diese Aufgabe in einer alten Klausur gestoßen, zu
> der ich leider keine Lösungen habe. Leider bin ich im
> Umgang mit Differentialformen nicht wirklich bewandert.
> Mein Ansatz:
> Mit dem Satz von Stokes gilt:
>
> [mm]I=\integral_{s²}{dw }[/mm]
>
> dw=d(y²xzdx∧dz)
> [mm]=\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial y)}*dy\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]+\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial x)}*dx\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]+\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial z)}*dz\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]=\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial y)}*dy\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]=2yxz*dy\wedge dx\wedge[/mm] dz
> (der Rest müsste wegfallen, weil dx^dx =0 ist oder?)
Genau so ist es.
>
> Dann ist mit [mm]s^{2}=\{(x,y,z) \varepsilon\IR^{3}| x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}[/mm]
>
>
> [mm]I=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}}}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}{2yxz dy} dx} dz}[/mm]
>
> Das wäre dann 0.
> Hab ich da jetzt nen Fehler drin oder soll da null
> rauskommen?
Um das herauszufinden, poste doch mal Deine Rechenschritte.
> Und wie wäre der direkte Weg?
> Der geht doch irgendwie über eine sog.
> Parametrisierung...in diesem Fall eine Parametrisierung des
> [mm]s^{2}....aber[/mm] wie finde ich eine solche und wie rechne ich
> dann damit?
Für die Parametrisierung verwendest Du dann ![[]](/images/popup.gif) Kugelkoordinaten.
Alles weitere findest Du dort auch.
>
> Fragen über Fragen...ich hoffe ihr könnt mir da helfen...so
> langsam verzweifel ich da nämlich weil ich auch keine
> wirklich guten Bücher dazu finde.
> Gruß, und danke schonmal Wiesel 20
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 So 08.02.2009 | | Autor: | Wiesel20 |
Hallo MathePower,
danke für deine schnelle Hilfe.
Aus dem Integral
> [mm]I=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}}}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}{2yxz dy} dx} dz}[/mm]
ergibt sich:
> [mm]I=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}}}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}{2yxz dy} dx} dz}[/mm][mm] =\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{(1-z^{2}-x^{2})-(1-z^{2}-x^{2}) dx}dz}=0
[/mm]
Das mit der Parametrisierung habe ich allerdings noch nicht ganz verstanden. Soweit bin ich: Ich hab es hier mit einer Kugel zu tun, als Parametrisierung eignet sich also zum Beispiel
[mm] Y:(-PI,PI)\times(-\bruch{PI}{2},\bruch{PI}{2})\to\IR
[/mm]
[mm] Y(\alpha,\beta):=\pmat{ cos(\alpha) & cos(\beta)\\ sin(\alpha) & cos(\beta)\\sin(\beta) }
[/mm]
Aber wie rechne ich nun weiter damit?
Gruß, und nochmals Danke für die Hilfe,
Wiesel20
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Di 10.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo MathePower,
>
> danke für deine schnelle Hilfe.
> Aus dem Integral
>
> >
> [mm]I=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}}}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}{2yxz dy} dx} dz}[/mm]
>
> ergibt sich:
> >
> [mm]I=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}}}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}{2yxz dy} dx} dz}[/mm][mm] =\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^2}}^{\wurzel{1-z^2}}{(1-z^{2}-x^{2})-(1-z^{2}-x^{2}) dx}dz}=0[/mm]
>
> Das mit der Parametrisierung habe ich allerdings noch nicht
> ganz verstanden. Soweit bin ich: Ich hab es hier mit einer
> Kugel zu tun, als Parametrisierung eignet sich also zum
> Beispiel
> [mm]Y:(-PI,PI)\times(-\bruch{PI}{2},\bruch{PI}{2})\to\IR[/mm]
>
> [mm]Y(\alpha,\beta):=\pmat{ cos(\alpha) & cos(\beta)\\ sin(\alpha) & cos(\beta)\\sin(\beta) }[/mm]
>
> Aber wie rechne ich nun weiter damit?
Das ist eine Parametrisierung der Kugeloberfläche. Dein Dreifachintegral geht über die Vollkugel, da müsstest du noch über den Radius integrieren.
Ich nehme daher an, dass du das ursprüngliche Integral über die 2-Form [mm] $\omega$ [/mm] meinst.
Schau mal hier!
Da du eine explizite Darstellung hast: [mm] $\omega=f(x,y,z) dx\wedge [/mm] dz$, ist das Integral einfach (ohne Grenzen)
[mm] \integral f\circ Y \bruch{\partial (Y_x,Y_z)}{\partial (\alpha,\beta)} d\alpha d\beta [/mm]
Du musst also die Funktionaldeterminante ausrechnen, indem du nur die x- und z-Komponente von Y nimmst.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 09.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei w = [mm]y²xzdx\wedge[/mm] dz. Berechnen Sie
> [mm]\integral_{s²}{w}[/mm]
> direkt und mit dem Satz von Stokes.
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich lerne grade für meine Matheprüfung am Donnerstag, und
> bin auf diese Aufgabe in einer alten Klausur gestoßen, zu
> der ich leider keine Lösungen habe. Leider bin ich im
> Umgang mit Differentialformen nicht wirklich bewandert.
> Mein Ansatz:
> Mit dem Satz von Stokes gilt:
>
> [mm]I=\integral_{s²}{dw }[/mm]
>
> dw=d(y²xzdx∧dz)
> [mm]=\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial y)}*dy\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]+\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial x)}*dx\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]+\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial z)}*dz\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]=\bruch{(\partial y^2xz)}{(\partial y)}*dy\wedge dx\wedge[/mm]
> dz
> [mm]=2yxz*dy\wedge dx\wedge[/mm] dz
> (der Rest müsste wegfallen, weil dx^dx =0 ist oder?)
>
> Dann ist mit [mm]s^{2}=\{(x,y,z) \varepsilon\IR^{3}| x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \}[/mm]
>
>
> [mm]I=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}}}{\integral_{-\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}^{\wurzel{1-z^{2}-x^{2}}}{2yxz dy} dx} dz}[/mm]
Das Vorzeichen stimmt so nicht, denn das Volumenelement ist [mm] $dx\wedge [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dz = - [mm] dy\wedge [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dz$.
>
> Das wäre dann 0.
> Hab ich da jetzt nen Fehler drin oder soll da null
> rauskommen?
0 ist richtig, denn der Integrand ist ungerade in allen drei Variablen x,y,z und du integrierst über ein Gebiet, das symmetrisch zu allen Achsen und Koordinatenebenen ist. Da hast du nochmal Glück gehabt, dass das Vorzeichen in diesem Fall nichts ausmacht 
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Wiesel20 |
Hallo,
Danke für die schnelle Antwort!
Wie rechne ich das ganze denn mit der Parametrisierung aus?
Ich stelle die Kugel dar durch
$ [mm] Y:(-PI,PI)\times(-\bruch{PI}{2},\bruch{PI}{2})\to\IR [/mm] $
$ [mm] Y(\alpha,\beta):=\pmat{ cos(\alpha) & cos(\beta)\\ sin(\alpha) & cos(\beta)\\sin(\beta) } [/mm] $
und muss nun irgendwie mit folgender Formel das ganze berechnen:
[mm] \integral_{\partial s^{2}}^{}{w }=\integral_{(-PI,PI)\times(-\bruch{PI}{2},\bruch{PI}{2})}^{}{y\*w}
[/mm]
Aber was hat es mit dem [mm] y\*w [/mm] auf sich?
Viele Grüße, und Danke für die tolle Unterstützung,
Wiesel20
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