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Ich habe eine Integraltafel. Unter Terme mit [mm] a^2 [/mm] + [mm] x^2
[/mm]
stehen die Funktionen
[mm] x^3/(a^2 [/mm] + [mm] x^2)
[/mm]
[mm] x^3/(a^2 [/mm] + [mm] x^2)^2
[/mm]
[mm] 1/(x*(a^2 [/mm] + [mm] x^2))
[/mm]
[mm] 1/(x*(a^2 [/mm] + [mm] x^2)^2)
[/mm]
Werden diese Integrale wirklich alle mit Substitution gelöst? Bei diesen unbestimmten Integralen fehlt mir ein Ansatz. Kann mir jemand Ratschläge geben.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Feuerbach,
mal zum ersten Integral:
> Ich habe eine Integraltafel. Unter Terme mit [mm]a^2[/mm] + [mm]x^2[/mm]
>
> stehen die Funktionen
>
> [mm]x^3/(a^2[/mm] + [mm]x^2)[/mm]
Mache zunächst eine Polynomdivision [mm] $x^3:(x^2+a^2)=x-\frac{a^2x}{x^2+a^2}$
[/mm]
Dann hast du [mm] $\int{x \ dx}-\frac{a^2}{2}\int{\frac{2x}{x^2+a^2} \ dx}$
[/mm]
Das hintere Integral ist ein logarithmisches, also von der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$, [/mm] von dem eine Stammfkt. gut bekannt ist: [mm] $\ln(|f(x)|)+C$
[/mm]
Das kannst du durch die Substitution $u=u(x):=f(x)$ herleiten, in deinem Fall konkret [mm] $u=u(x):=x^2+a^2$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
für das dritte Integral mache zunächst eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{x(x^2+a^2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+a^2}$
[/mm]
Dann hast du's schnell, wenn du das Integral [mm] $\frac{1}{x^2+a^2}$ [/mm] kennst (oder auf den Umformungstrick in a) schaust)
Dann kannst du dir die Substitution "sparen" 
Gruß
schachuzipus
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Herzlichen Dank für diesen Ansatz. Ich verstehe bei der PBZ nicht, wann ich Brüche mit Ax+B im Zähler habe. Manchmal zerlege ich in Partialbrüche im Nenner (a + [mm] x)^2 [/mm] und dann steht eine 1 im Zähler.
Mit PBZ stehe ich noch einwenig auf dem Kriegsfuß. Gibt es irgendwo leichte Einführungen für PBZ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Mi 30.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft Dir das:
http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
FRED
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Hallo Feuerbach,
> Ich habe eine Integraltafel. Unter Terme mit [mm]a^2[/mm] + [mm]x^2[/mm]
>
> stehen die Funktionen
>
> [mm]x^3/(a^2[/mm] + [mm]x^2)[/mm]
> [mm]x^3/(a^2[/mm] + [mm]x^2)^2[/mm]
> [mm]1/(x*(a^2[/mm] + [mm]x^2))[/mm]
> [mm]1/(x*(a^2[/mm] + [mm]x^2)^2)[/mm]
>
> Werden diese Integrale wirklich alle mit Substitution
> gelöst? Bei diesen unbestimmten Integralen fehlt mir ein
> Ansatz. Kann mir jemand Ratschläge geben.
Nach meinen Rechniungen werden alle diese Integrale
mit der Substitution [mm]x=a*\tan\left(t\right)[/mm] gelöst.
Alternativ bietet sich die Substitution [mm]x=a*\sinh\left(t\right)[/mm] an.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss
MathePower
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Sehr herzlichen Dank für Deinen Vorschlag.
Kommt man hier nur zur Lösung mit einer trigonometrischen Substitution?
Ich dachte immer, es gebe immer neben einer trigonometrischen Substitution noch eine weitere (algebraische)?
Kann ich ungefähr erahnen, wann ich eine trigonometrische Substitution anwende?
Ich weiß nie genau, wann ich welche Substitution anwende.
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Hallo Feuerbach,
> Sehr herzlichen Dank für Deinen Vorschlag.
>
> Kommt man hier nur zur Lösung mit einer trigonometrischen
> Substitution?
Ich hab hier als Alternative die Substitution [mm]x=a*\sinh\left(t\right)[/mm] angegeben.
>
> Ich dachte immer, es gebe immer neben einer
> trigonometrischen Substitution noch eine weitere
> (algebraische)?
Kann sein.
>
> Kann ich ungefähr erahnen, wann ich eine trigonometrische
> Substitution anwende?
Nun, wenn Du Wurzelausdrücke der Form
[mm]\wurzel{r^{2}-x^{2}} [/mm]
hast, dann ist eine trigonometrische Substiution [mm]x=r*\sin\left(t\right)[/mm] angebracht.
>
> Ich weiß nie genau, wann ich welche Substitution anwende.
>
>
Gruss
MathePower
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